Calcule o comprimento de arco da curva y=\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{4 x} entre os pontos (x, y) tais que 2 \leq x \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4x}
no intervalo 2 \le x \le 3. O conteúdo é o cálculo de comprimento de arco para função y=f(x), cuja fórmula é
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada y' = f'(x). Como
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr)=x^{2}, \quad \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{1}{4x}\Bigr)=-\frac{1}{4x^{2}},
segue que
y' = x^{2} - \frac{1}{4x^{2}}.

Passo 3

Montamos o integrando
\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}} = \sqrt{1 + \Bigl(x^{2} - \tfrac{1}{4x^{2}}\Bigr)^{2}}.
Expandindo o quadrado:
\Bigl(x^{2} - \tfrac{1}{4x^{2}}\Bigr)^{2} = x^{4} - 2\cdot x^{2}\cdot\tfrac{1}{4x^{2}} + \tfrac{1}{16x^{4}} = x^{4} - \tfrac12 + \tfrac{1}{16x^{4}},
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1 + \Bigl(x^{2} - \tfrac{1}{4x^{2}}\Bigr)^{2} = x^{4} + \tfrac12 + \tfrac{1}{16x^{4}} = \Bigl(x^{2} + \tfrac{1}{4x^{2}}\Bigr)^{2}.
Portanto
\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}} = x^{2} + \frac{1}{4x^{2}}.

Passo 4

O comprimento de arco fica
L = \int_{2}^{3} \Bigl(x^{2} + \tfrac{1}{4x^{2}}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a primitiva:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int \frac{1}{4x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{4x}.
Logo uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{4x}.

Passo 6

Avaliando de 2 a 3:
L = F(3) - F(2) = \Bigl(\frac{3^{3}}{3} - \frac{1}{12}\Bigr) - \Bigl(\frac{2^{3}}{3} - \frac{1}{8}\Bigr) = \Bigl(9 - \tfrac{1}{12}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{8}{3} - \tfrac{1}{8}\Bigr) = \frac{51}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{51}{8} (unidades de comprimento)

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