Seja P=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\\\ -2 & 4 & -6 \\\\ 3 & -6 & 9\end{array}\right) a matriz de projeção sobre um vetor v em \mathbb{R}^{3}.
Calcule a projeção de \left(\begin{array}{c}0 \\\\ 14 \\\\ 0\end{array}\right) sobre v. Resposta: A projeção é igual a \left(\begin{array}{c}-2 \\\\ 4 \\\\ 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado diz que
P = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\\\ -2 & 4 & -6 \\\\ 3 & -6 & 9 \end{pmatrix}
é a matriz de projeção ortogonal sobre um vetor v em \mathbb{R}^3, e pede a projeção de \displaystyle x = \begin{pmatrix}0 \\\\ 14 \\\\ 0\end{pmatrix}
sobre v. Para isso, basta aplicar P ao vetor x:
\mathrm{proj}_v(x) = P\,x.

Passo 2

Calculemos primeiro o produto da matriz sem o fator 1/14 pelo vetor x:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\\\ -2 & 4 & -6 \\\\ 3 & -6 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 14\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + (-2)\cdot14 + 3\cdot0 \\[6pt] -2\cdot0 + 4\cdot14 +(-6)\cdot0 \\[6pt] 3\cdot0 + (-6)\cdot14 + 9\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28 \\[3pt] 56 \\[3pt] -84 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora multiplicamos por 1/14:
\frac{1}{14} \begin{pmatrix} -28 \\[3pt] 56 \\[3pt] -84 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\[3pt] 4 \\[3pt] -6 \end{pmatrix}.]

Resposta

\mathrm{proj}_v\!\bigl(\begin{pmatrix}0\\\ 14\\\ 0\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix} -2 \\\\ 4 \\\\ -6 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados