Verifique se
são ambas soluções de
As funções
, com
e
constantes arbitrárias, são também soluções? A soma
é uma solução?
Passo 1
Temos a equação diferencial não linear de segunda ordem
e queremos verificar se
são soluções. Em seguida, indagamos se combinações lineares dessas funções também resolvem a EDO e, em particular, se
é solução.
Passo 2
Substituindo
na EDO:
Para calculamos
Para
No lado esquerdo da EDO fica
que não é identicamente zero. Portanto
não satisfaz a equação.
Passo 3
Substituindo
na EDO:
Para calculamos
Para
No lado esquerdo da EDO fica
que também não é identicamente zero. Logo
não é solução.
Passo 4
Como a equação é não linear em
, o princípio da superposição não vale. Mesmo que
e
fossem soluções, uma combinação
teria
e
onde o termo quadrático mistura
e
. Não há cancelamento garantido, então em geral essa combinação não resolve a EDO.
Passo 5
Em particular, a soma
é o caso
da combinação linear acima, e portanto também não satisfaz a equação.
Resposta
Nenhuma das funções
e
é solução de
. Consequentemente, combinações lineares
não resolvem a EDO (princípio da superposição falha em equações não lineares), e a soma
também não é solução.