Verifique se y_{1}=2 x+2 e^{x}, y_{2}=x-x^{2} / 2 são ambas soluções de
y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0
As funções c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2}, com c_{1} e c_{2} constantes arbitrárias, são também soluções? A soma y_{1}+y_{2} é uma solução?

Passo 1

Temos a equação diferencial não linear de segunda ordem
y'' + \bigl(y'\bigr)^{2} = 0
e queremos verificar se
y_{1}(x)=2x+2e^{x}, \quad y_{2}(x)=x-\tfrac{x^{2}}{2}
são soluções. Em seguida, indagamos se combinações lineares dessas funções também resolvem a EDO e, em particular, se y_{1}+y_{2} é solução.

Passo 2

Substituindo y_{1} na EDO:
Para y_{1}(x)=2x+2e^{x} calculamos
y_{1}'(x)=2+2e^{x}, \qquad y_{1}''(x)=2e^{x}.
No lado esquerdo da EDO fica
y_{1}'' + \bigl(y_{1}'\bigr)^{2} =2e^{x} + \bigl(2+2e^{x}\bigr)^{2} =2e^{x} + \bigl(4+8e^{x}+4e^{2x}\bigr) =4 + 10e^{x} + 4e^{2x},
que não é identicamente zero. Portanto y_{1} não satisfaz a equação.

Passo 3

Substituindo y_{2} na EDO:
Para y_{2}(x)=x-\tfrac{x^{2}}{2} calculamos
y_{2}'(x)=1 - x, \qquad y_{2}''(x)=-1.
No lado esquerdo da EDO fica
y_{2}'' + \bigl(y_{2}'\bigr)^{2} =-1 + (1 - x)^{2} =-1 + (1 - 2x + x^{2}) =x^{2} - 2x,
que também não é identicamente zero. Logo y_{2} não é solução.

Passo 4

Como a equação é não linear em y', o princípio da superposição não vale. Mesmo que y_{1} e y_{2} fossem soluções, uma combinação
y = c_{1}\,y_{1} + c_{2}\,y_{2}
teria
y' = c_{1}y_{1}' + c_{2}y_{2}', \quad y'' = c_{1}y_{1}'' + c_{2}y_{2}'',
e
y'' + (y')^{2} = c_{1}y_{1}'' + c_{2}y_{2}'' + \bigl(c_{1}y_{1}'+c_{2}y_{2}'\bigr)^{2},
onde o termo quadrático mistura y_{1}' e y_{2}'. Não há cancelamento garantido, então em geral essa combinação não resolve a EDO.

Passo 5

Em particular, a soma
y_{1}+y_{2}
é o caso c_{1}=c_{2}=1 da combinação linear acima, e portanto também não satisfaz a equação.

Resposta

Nenhuma das funções y_{1} e y_{2} é solução de y''+(y')^{2}=0. Consequentemente, combinações lineares c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} não resolvem a EDO (princípio da superposição falha em equações não lineares), e a soma y_{1}+y_{2} também não é solução.

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