Calcule o comprimento de arco da curva y=x^32 do ponto P1=(1,1) até o ponto P2=(4,8).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ entre os pontos $ P_1 = (1, 1) $ e $ P_2 = (4, 8) $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva. Vamos precisar encontrar a derivada da função, montar a integral correta e resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função é $ y = x^{\frac{3}{2}} $, então:
y

Passo 3

Agora, precisamos calcular $ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 $:
( dydx )^2

Passo 4

A fórmula para o comprimento de arco $ L $ de uma curva $ y = f(x) $ de $ x = a $ a $ x = b $ é:
L
Aplicando os valores que temos:
y = f(x)

Passo 5

Para resolver a integral $ \int \sqrt{9x + 4} , dx $, vamos usar a substituição $ u = 9x + 4 $. Então:
integral raiz9x + 4 , dx
Substituindo na integral:
u = 9x + 4
Voltando para $ x $:
du = 9 , dx Rightarrow dx = du9

Passo 6

Agora, vamos calcular o comprimento do arco substituindo os limites de integração:
L = 12 [ 227 (9x + 4)^32 ]1^4 = 127 [ (9 cdot 4 + 4)^32 - (9 cdot 1 + 4)^32 ]
Calculando dentro dos parênteses:
9 cdot 4 + 4 = 40 e 9 cdot 1 + 4 = 13
Então:
L = 127 [ 40^32 - 13^32 ]

Passo 7

Vamos calcular os valores:
40^32 = (raiz40)^3 approx (6.3246)^3 approx 252.98
13^32 = (raiz13)^3 approx (3.6056)^3 approx 46.87
Substituindo:
L approx 127 (252.98 - 46.87) = 127 times 206.11 approx 7.63

Resposta

O comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ de $ P_1=(1,1) $ até $ P_2=(4,8) $ é aproximadamente 7,63 unidades.

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