Calcule o comprimento de arco da curva
do ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ entre os pontos $ P_1 = (1, 1) $ e $ P_2 = (4, 8) $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva. Vamos precisar encontrar a derivada da função, montar a integral correta e resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função é $ y = x^{\frac{3}{2}} $, então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular $ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 $:
Passo 4
A fórmula para o comprimento de arco $ L $ de uma curva $ y = f(x) $ de $ x = a $ a $ x = b $ é:
Aplicando os valores que temos:
Passo 5
Para resolver a integral $ \int \sqrt{9x + 4} , dx $, vamos usar a substituição $ u = 9x + 4 $. Então:
Substituindo na integral:
Voltando para $ x $:
Passo 6
Agora, vamos calcular o comprimento do arco substituindo os limites de integração:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 7
Vamos calcular os valores:
Substituindo:
Resposta
O comprimento do arco da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ de $ P_1=(1,1) $ até $ P_2=(4,8) $ é aproximadamente 7,63 unidades.