Calcule o comprimento do arco da curva y=x^{2}, no intervalo 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O problema pede o comprimento do arco da curva y = x^2 no intervalo 0 \le x \le 1.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco para funções de uma variável:
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como y = x^2, temos
y'(x) = 2x.
Logo, o integrando da fórmula de comprimento de arco fica
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2} = \sqrt{1 + (2x)^2} = \sqrt{1 + 4x^2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento de arco, obtemos
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^2}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \sqrt{1+4x^2}\,dx, fazemos a substituição u = 2x, de modo que du = 2\,dx ou dx = \tfrac{du}{2}. Assim,
\int \sqrt{1+4x^2}\,dx = \int \sqrt{1+u^2}\,\frac{du}{2} = \tfrac12 \int \sqrt{1+u^2}\,du.
Sabemos que
\int \sqrt{1+u^2}\,du = \tfrac12\Bigl(u\sqrt{1+u^2} + \ln\bigl(u + \sqrt{1+u^2}\bigr)\Bigr).
Portanto
\int \sqrt{1+4x^2}\,dx = \tfrac12 \cdot \tfrac12\Bigl(u\sqrt{1+u^2} + \ln(u + \sqrt{1+u^2})\Bigr) = \tfrac14\Bigl(u\sqrt{1+u^2} + \ln(u + \sqrt{1+u^2})\Bigr).
Voltando a x com u=2x, temos a primitiva
F(x) = \tfrac14\Bigl(2x\sqrt{1+4x^2} + \ln\bigl(2x + \sqrt{1+4x^2}\bigr)\Bigr).

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
L = F(1) - F(0) = \tfrac14\Bigl(2\cdot1\sqrt{1+4\cdot1^2} + \ln(2 + \sqrt5)\Bigr) - \tfrac14\Bigl(0 + \ln(0 + 1)\Bigr).
Como \ln(1)=0, fica
L = \tfrac14\bigl(2\sqrt5 + \ln(2 + \sqrt5)\bigr) = \tfrac{\sqrt5}{2} + \tfrac{1}{4}\ln\bigl(2 + \sqrt5\bigr).

Resposta

L = \frac{\sqrt5}{2} \;+\; \frac{1}{4}\,\ln\bigl(2 + \sqrt5\bigr).

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