Questão 01:

Resolva a inequação e apresente seu resultado usando a notação de intervalos.
|x-4|<|x+6|-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|x-4| < |x+6| - 4
O conteúdo é inequações envolvendo valor absoluto, que exigem análise de sinais das expressões dentro dos módulos. Vamos fazer uma discussão por casos sobre x+6 e x-4.

Passo 2

Repare que |x-4|\ge0 para todo x. Logo, para que
|x-4| < |x+6|-4
tenhamos qualquer chance de solução, é necessário que
|x+6|-4>0,
isto é,
|x+6|>4.
Essa condição equivale a
x+6>4\quad\text{ou}\quad x+6<-4,
ou seja,
x>-2\quad\text{ou}\quad x<-10.
Em x\in[-10,-2] temos |x+6|-4\le0 e, como |x-4|\ge0, não há solução nessa faixa.

Passo 3

Analisamos primeiro a região x<-10.
Nesse caso x+6< -4 e x-4<0, então
|x+6|= -\,(\,x+6\,)=-x-6, \quad |x-4|= -\,(x-4)=4-x.
Substituindo na inequação:
4-x < \bigl(-x-6\bigr)-4 \quad\Longrightarrow\quad 4-x < -x-10 \quad\Longrightarrow\quad 4< -10,
que é impossível. Logo, não há soluções em (-\infty,-10).

Passo 4

Agora a região x>-2. Aqui x+6>4, logo |x+6|=x+6. Há dois subintervalos em relação a x-4:
(a) Para -2<x<4 temos x-4<0, logo |x-4|=4-x. A inequação vira
4-x < (x+6)-4 \quad\Longrightarrow\quad 4-x < x+2 \quad\Longrightarrow\quad 4-2 < 2x \quad\Longrightarrow\quad 2<2x \quad\Longrightarrow\quad x>1.
Intersection com -2<x<4 1<x<4.
(b) Para x\ge4 temos x-4\ge0, logo |x-4|=x-4. A inequação é
x-4 < (x+6)-4 \quad\Longrightarrow\quad x-4 < x+2 \quad\Longrightarrow\quad -4<2,
que é sempre verdadeira. Assim, toda a faixa x\ge4 satisfaz a inequação.

Passo 5

Unindo os pedaços com solução válida, obtemos
x\in(1,4)\;\cup\;[4,\infty)=(1,\infty).

Resposta

(1,\infty)

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