Calcule as primitivas incicadas:
integral x2 cos (x) d x

Passo 1

O exercício pede calcular a primitiva indefinida de integral tfracx2 cos(x) , dx, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=tfracx2cos(x). O conteúdo principal aqui é integração por partes.

Passo 2

Podemos fatorar a constante tfrac12 em frente à integral para simplificar:
integral x2 cos(x) , dx = 12 integral x cos(x) , dx

Passo 3

Para usar integração por partes, definimos u = x e dv = cos(x), dx. Assim,
du = dx, v = integral cos(x), dx = sin(x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv = u v - integral v,du, obtemos:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - integral sin(x) , dx

Passo 5

Agora basta integrar sin(x). Sabemos que integral sin(x), dx = -cos(x). Portanto,
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - (-cos(x)) = x sin(x) + cos(x)

Passo 6

Voltando ao fator tfrac12 que estava fora da integral, multiplicamos o resultado por tfrac12:
integral x2 cos(x) , dx = 12l(x sin(x) + cos(x)r) + C = x sin(x)2 + cos(x)2 + C

Resposta

x sin(x)2 + cos(x)2 + C

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