Calcule o comprimento de arco das curvas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva dada pelas equações paramétricas
no intervalo de parâmetro
. Informações relevantes fornecidas:
,
e o intervalo de integração é
.
A tarefa é computar o comprimento total dessa curva para todo o intervalo indicado.
A tarefa é computar o comprimento total dessa curva para todo o intervalo indicado.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que): para uma curva dada de forma paramétrica por
com
, o comprimento de arco é
O que essa fórmula significa: imagine dividir o intervalo
em pedaços muito pequenos. Em cada pedaço a curva é bem aproximada por um segmento reto cuja extensão é aproximadamente
. Fazendo o limite quando os pedaços ficam infinitesimais obtemos a integral acima. Nas notações,
e
são as derivadas de
e
em relação a
, e
é o diferencial do parâmetro.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias. Usamos as regras básicas de derivação: a derivada de
é
e a de
é
; constantes multiplicativas saem na frente.
Passo 4
Montar o integrando da fórmula do comprimento: somamos os quadrados das derivadas e tiramos a raiz.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Portanto
Assim o integrando fica
. Observação didática: é muito comum no caso de parametrizações de circunferência esse simplificar para uma constante, o que facilita bastante a integral.
Passo 5
Calcular a integral para o comprimento:
Verificação rápida e interpretação: a curva é uma circunferência de raio
(porque
), e a circunferência tem comprimento
. Aqui
, então
, que coincide com o resultado da integral — bom sinal!
Passo 6
Resumo do procedimento que você pode usar na prova: (1) escrever a fórmula do comprimento paramétrico, (2) calcular
e
, (3) formar
e simplificar, (4) integrar no intervalo dado. Para curvas de círculos parametrizadas por
isso sempre dá integrando constante
, levando a
. Força aí — você chega!