Calcule o comprimento de arco das curvas:
x=3 \cos t, y=3 \sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva dada pelas equações paramétricas \,x=3\cos t,\; y=3\sin t\, no intervalo de parâmetro \,0 \le t \le 2\pi\,. Informações relevantes fornecidas:
\,x(t)=3\cos t\,, \,y(t)=3\sin t\, e o intervalo de integração é \,t\in[0,2\pi]\,.
A tarefa é computar o comprimento total dessa curva para todo o intervalo indicado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que): para uma curva dada de forma paramétrica por \,x=x(t),\;y=y(t)\, com \,t\in[a,b]\,, o comprimento de arco é
L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.
O que essa fórmula significa: imagine dividir o intervalo [a,b] em pedaços muito pequenos. Em cada pedaço a curva é bem aproximada por um segmento reto cuja extensão é aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. Fazendo o limite quando os pedaços ficam infinitesimais obtemos a integral acima. Nas notações, \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as derivadas de \,x(t) e \,y(t) em relação a t, e dt é o diferencial do parâmetro.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias. Usamos as regras básicas de derivação: a derivada de \cos t é -\sin t e a de \sin t é \cos t; constantes multiplicativas saem na frente.
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(3\cos t) = 3\cdot(-\sin t) = -3\sin t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(3\sin t) = 3\cdot\cos t = 3\cos t.

Passo 4

Montar o integrando da fórmula do comprimento: somamos os quadrados das derivadas e tiramos a raiz.
\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 = 9\sin^2 t + 9\cos^2 t.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \,\sin^2 t + \cos^2 t = 1\,. Portanto
9\sin^2 t + 9\cos^2 t = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) = 9\cdot 1 = 9.
Assim o integrando fica \sqrt{9}=3. Observação didática: é muito comum no caso de parametrizações de circunferência esse simplificar para uma constante, o que facilita bastante a integral.

Passo 5

Calcular a integral para o comprimento:
L=\int_{0}^{2\pi} 3\,dt = 3\int_{0}^{2\pi} dt = 3\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = 3(2\pi-0)=6\pi.
Verificação rápida e interpretação: a curva é uma circunferência de raio \,3\, (porque \,x^2+y^2=(3\cos t)^2+(3\sin t)^2=9(\cos^2 t+\sin^2 t)=9\,), e a circunferência tem comprimento 2\pi r. Aqui r=3, então 2\pi r = 6\pi, que coincide com o resultado da integral — bom sinal!

Passo 6

Resumo do procedimento que você pode usar na prova: (1) escrever a fórmula do comprimento paramétrico, (2) calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}, (3) formar \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} e simplificar, (4) integrar no intervalo dado. Para curvas de círculos parametrizadas por r\cos t, r\sin t isso sempre dá integrando constante r, levando a L=2\pi r. Força aí — você chega!

Resposta

6\pi

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