Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)=3, \quad \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=2, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-1. \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=2 . f(-3)-2 . f(3)=0

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce (ou seja, construa) o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições abaixo simultaneamente. As condições dadas são:
\lim_{x\to -\infty} f(x)=3,
\lim_{x\to 1^-} f(x)=2,
\lim_{x\to 1^+} f(x)=2,
\lim_{x\to \infty} f(x)=-1,
e a condição pontual
f(-3)-2\cdot f(3)=0.
Ou seja, preciso apresentar uma função que tenha assíntota horizontal y=3 quando x\to -\infty, assíntota horizontal y=-1 quando x\to\infty, limite (lados esquerdo e direito) igual a 2 em x=1, e que satisfaça a igualdade entre os valores em -3 e 3.

Passo 2

Vou explicar a ideia que vou usar (sem resolver ainda): funções com duas assíntotas horizontais diferentes em -\infty e +\infty aparecem naturalmente em funções tipo “sigmoide” (logística) como
g(x) = A + \frac{B}{1+e^{x-b}},
onde A,B,b são constantes. Por que isso funciona:
  • Quando x\to\infty, temos e^{x-b}\to\infty, então \dfrac{B}{1+e^{x-b}}\to 0 e g(x)\to A.
  • Quando x\to -\infty, temos e^{x-b}\to 0, então \dfrac{B}{1+e^{x-b}}\to B e g(x)\to A+B.
    Assim conseguimos escolher A e B para obter duas assíntotas horizontais desejadas: uma em A+B à esquerda e outra em A à direita. Essa família é contínua em todo lugar, então limites laterais em pontos finitos coincidem com o valor da função nesse ponto (se não alterarmos o valor ali).

Passo 3

Quero assíntotas 3 em x\to -\infty e -1 em x\to\infty. Pelas fórmulas do passo anterior, escolha A=-1 e A+B=3. Assim
A=-1,\qquad A+B=3 \implies B=4.
Portanto a forma candidata é
g(x) = -1 + \frac{4}{1+e^{x-b}}.

Passo 4

Agora preciso garantir que o limite em x=1 (pelos dois lados) seja 2. Como g é contínua, basta impor g(1)=2. Então resolvo:
g(1) = -1 + \frac{4}{1+e^{1-b}} = 2.
Passo a passo na álgebra:
-1 + \frac{4}{1+e^{1-b}} = 2
\frac{4}{1+e^{1-b}} = 3
1+e^{1-b} = \frac{4}{3}
e^{1-b} = \frac{4}{3}-1 = \frac{1}{3}
1-b = \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = -\ln 3
b = 1+\ln 3.
Portanto a escolha
g(x) = -1 + \frac{4}{1+e^{\,x-(1+\ln 3)}}
satisfaz as assíntotas e tem g(1)=2. Como g é contínua, isso garante \lim_{x\to 1^-} g(x)=\lim_{x\to 1^+} g(x)=2.

Passo 5

Ainda falta satisfazer a condição pontual f(-3)-2f(3)=0. Observação importante (útil em provas!): alterar o valor de uma função em um número finito de pontos não muda limites em pontos distintos nem assíntotas em infinito. Ou seja, posso começar com g(x) (que já tem os limites corretos) e modificar os valores somente em x=3 e x=-3 para forçar a igualdade desejada, sem estragar os limites em \pm\infty nem os limites laterais em x=1.
Escolho a maneira mais simples: definir f igual a g para todo x exceto em x=3 e x=-3, e então fixar
f(3)=0,\qquad f(-3)=0.
Isso satisfaz imediatamente
f(-3)-2\cdot f(3)=0-2\cdot 0=0.
Note que poderia escolher qualquer c e fazer f(3)=c,\; f(-3)=2c; eu optei por c=0 para ficar simples.

Passo 6

Concluindo, defino explicitamente a função f\) por \[f(x)= \begin{cases} -1 + \dfrac{4}{1+e^{\,x-(1+\ln 3)}}, & x\neq -3,\; x\neq 3,\\[6pt] 0, & x=3,\\[2pt] 0, & x=-3. \end{cases}
Verificações rápidas (para ficar seguro):
  • Para x\to -\infty\], a parte contínua tende a \(-1+4=3, logo \lim_{x\to -\infty} f(x)=3.
  • Para x\to \infty, a parte contínua tende a -1, logo \lim_{x\to \infty} f(x)=-1.
  • Em x=1 usamos o fato de que não alterei o valor de g em 1, então f(1)=g(1)=2 e, como g é contínua, \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)=2.
  • E por definição f(-3)-2f(3)=0.]

Passo 7

Descrição do esboço do gráfico (como desenhar na prova):
  • Para x muito à esquerda, a curva fica próxima de y=3 (linha horizontal).
  • Ela desce suavemente em forma de “S” (sigmoide), passando pelo ponto (1,2).
  • Para x muito à direita, a curva aproxima y=-1.
  • Em x=-3 e x=3 coloque dois pontos isolados (marcados) no eixo vertical com valor 0 — esses pontos são apenas valores isolados; não alteram as assíntotas nem os limites.
  • O resto da curva é suave e contínuo (é a log-sigmoide definida pela fórmula acima).

Resposta

f(x)= \begin{cases} -1 + \dfrac{4}{1+e^{\,x-(1+\ln 3)}}, & x\neq -3,\; x\neq 3,\\[6pt] 0, & x=3,\\[2pt] 0, & x=-3. \end{cases}]

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