Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce (ou seja, construa) o gráfico de um exemplo de função
que satisfaça todas as condições abaixo simultaneamente. As condições dadas são:
e a condição pontual
Ou seja, preciso apresentar uma função que tenha assíntota horizontal
quando
, assíntota horizontal
quando
, limite (lados esquerdo e direito) igual a
em
, e que satisfaça a igualdade entre os valores em
e
.
Passo 2
Vou explicar a ideia que vou usar (sem resolver ainda): funções com duas assíntotas horizontais diferentes em
e
aparecem naturalmente em funções tipo “sigmoide” (logística) como
onde
são constantes. Por que isso funciona:
- Quando
, temos , então e . - Quando
, temos , então e .
Assim conseguimos escolhere para obter duas assíntotas horizontais desejadas: uma em à esquerda e outra em à direita. Essa família é contínua em todo lugar, então limites laterais em pontos finitos coincidem com o valor da função nesse ponto (se não alterarmos o valor ali).
Passo 3
Quero assíntotas
em
e
em
. Pelas fórmulas do passo anterior, escolha
e
. Assim
Portanto a forma candidata é
Passo 4
Agora preciso garantir que o limite em
(pelos dois lados) seja
. Como
é contínua, basta impor
. Então resolvo:
Passo a passo na álgebra:
Portanto a escolha
satisfaz as assíntotas e tem
. Como
é contínua, isso garante
.
Passo 5
Ainda falta satisfazer a condição pontual
. Observação importante (útil em provas!): alterar o valor de uma função em um número finito de pontos não muda limites em pontos distintos nem assíntotas em infinito. Ou seja, posso começar com
(que já tem os limites corretos) e modificar os valores somente em
e
para forçar a igualdade desejada, sem estragar os limites em
nem os limites laterais em
.
Escolho a maneira mais simples: definir
igual a
para todo
exceto em
e
, e então fixar
Isso satisfaz imediatamente
Note que poderia escolher qualquer
e fazer
; eu optei por
para ficar simples.
Passo 6
Concluindo, defino explicitamente a função
Verificações rápidas (para ficar seguro):
- Para
, logo
. - Para
, a parte contínua tende a , logo . - Em
usamos o fato de que não alterei o valor de em , então e, como é contínua, . - E por definição
.]
Passo 7
Descrição do esboço do gráfico (como desenhar na prova):
- Para
muito à esquerda, a curva fica próxima de (linha horizontal). - Ela desce suavemente em forma de “S” (sigmoide), passando pelo ponto
. - Para
muito à direita, a curva aproxima . - Em
e coloque dois pontos isolados (marcados) no eixo vertical com valor — esses pontos são apenas valores isolados; não alteram as assíntotas nem os limites. - O resto da curva é suave e contínuo (é a log-sigmoide definida pela fórmula acima).