Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas. \lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)=-0, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1, \quad \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=3, f(-1)=2, f(2)=1
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições:
Observações imediatas (apenas listando informações, sem resolver nada ainda):
"-0" é o mesmo que 0 (o zero não tem sinal); portanto a primeira condição é \lim_{x\to -\infty} f(x)=0.
Há uma diferença entre o valor limite em x=2 (que é 3) e o valor da função no ponto x=2 (que é 1). Logo a função deve ter uma descontinuidade em x=2: o limite existe e vale 3, mas o valor da função é outro.
Também é pedido um valor específico em x=-1, f(-1)=2, que é apenas um ponto isolado no gráfico.
Passo 2
Ideia para construir um exemplo explícito: vamos montar uma função que seja “sigmóide” (ou seja, com comportamento que vai de 0 a 1 quando x vai de -\infty a +\infty) e, em seguida, somar um pico localizado perto de x=2 que eleva o valor da função para chegar a 3 quando nos aproximamos de 2. Finalmente, atribuiremos explicitamente os valores em x=2 e em x=-1 para respeitar as condições pontuais.
Primeiro componente (comportamento em \pm\infty): escolha a função logística
s(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}.
Ensino rápido sobre esta função:
Quando x\to -\infty, temos e^{-x}\to +\infty, então s(x)=1/(1+e^{-x})\to 0.
Quando x\to +\infty, temos e^{-x}\to 0, então s(x)\to 1.
Portanto s(x) dá as assíntotas horizontais desejadas: 0 à esquerda e 1 à direita.
Passo 3
Segundo componente (pico em x=2): queremos uma função b(x) que
satisfaça \lim_{x\to\pm\infty} b(x)=0 (para não estragar as assíntotas de s),
satisfaça \lim_{x\to 2} b(x)=3-s(2) (para que s(x)+b(x) tenda a 3 quando x\to 2).
Uma escolha simples e suave é usar uma gaussiana centrada em 2:
b(x)=\bigl(3-s(2)\bigr)\,e^{-(x-2)^2}.
Explicando os pontos:
e^{-(x-2)^2} satisfaz \lim_{x\to 2} e^{-(x-2)^2}=1 e \lim_{x\to\pm\infty} e^{-(x-2)^2}=0.
Logo \lim_{x\to 2} b(x)=3-s(2) e \lim_{x\to\pm\infty} b(x)=0.
Assim, a soma s(x)+b(x) terá \lim_{x\to 2} (s(x)+b(x)) = s(2)+(3-s(2))=3, e manterá as assíntotas horizontais em 0 e 1 quando x\to\pm\infty.
Passo 4
Defino a função exemplo de forma peça-por-peça para garantir os valores pontuais pedidos:
Mas por definição pontual colocamos f(2)=1, portanto existe uma descontinuidade removível/definida com valor diferente: o limite é 3 e o valor é 1, como pedido.
Valor em x=-1: por definição fizemos f(-1)=2. Alterar o valor da função em um ponto isolado não altera limites em \pm\infty nem o limite em x=2.]
Passo 5
Como esboçar o gráfico (passo-a-passo visual que você pode desenhar rapidamente na prova):
Trace duas linhas horizontais tênues: y=0 (assíntota à esquerda) e y=1 (assíntota à direita).
Desenhe uma curva sigmóide suave que vai aproximando y=0 quando x\to -\infty e aproximando y=1 quando x\to +\infty.
Perto de x=2 sobre essa curva coloque um pico (uma elevação) que atinge aproximadamente y=3; esse pico é suave porque usamos uma gaussiana. Marque nesse ponto um círculo aberto em (2,3) — o limite é 3 mas a função não toma esse valor em x=2.
Coloque um ponto preenchido em (2,1) para representar f(2)=1.
Coloque também um ponto preenchido em (-1,2) para representar f(-1)=2. Esse ponto pode ficar isolado (se a soma s(-1)+b(-1) não for 2), mas está explicitamente definido.
O resto da curva entre esses marcadores permanece suave, conectando as assíntotas e o pico (exceto nos pontos de modificação).