Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
x=2 \cos t, y=3 \sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=2\cos t,\quad y=3\sin t,\quad 0\le t\le 2\pi
e pede que a gente esboce as curvas correspondentes e indique a direção de crescimento do parâmetro t.
Informações relevantes que temos: x e y estão expressos em função de t; o parâmetro t varia no intervalo [\,0,2\pi\,]. A tarefa é: (1) encontrar a curva em coordenadas cartesianas para reconhecer sua forma, (2) localizar pontos importantes para desenhar o esboço, e (3) determinar a direção em que a curva é percorrida quando t aumenta.

Passo 2

Eliminando o parâmetro para encontrar a equação cartesiana. Dividimos x por 2 e y por 3 e usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1:
\frac{x}{2}=\cos t,\qquad \frac{y}{3}=\sin t.
Elevando ao quadrado e somando:
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Portanto a curva em coordenadas cartesianas é a elipse
\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1.
Aqui cada símbolo significa: x e y são coordenadas no plano; 2 é o semi-eixo na direção x e 3 é o semi-eixo na direção y.

Passo 3

Localizando pontos-chave calculando a posição para valores típicos de t:
\begin{aligned} &t=0:\quad (x,y)=(2\cos 0,\,3\sin 0)=(2,0).\\\ &t=\tfrac{\pi}{2}:\quad (x,y)=(2\cos\tfrac{\pi}{2},\,3\sin\tfrac{\pi}{2})=(0,3).\\\ &t=\pi:\quad (x,y)=(2\cos\pi,\,3\sin\pi)=(-2,0).\\\ &t=\tfrac{3\pi}{2}:\quad (x,y)=(2\cos\tfrac{3\pi}{2},\,3\sin\tfrac{3\pi}{2})=(0,-3). \end{aligned}
Esses quatro pontos são os interceptos da elipse com os eixos coordenados e são suficientes para orientar o esboço.

Passo 4

Interpretando a forma e as dimensões: a elipse está centrada em (0,0), tem semi-eixo horizontal 2 e semi-eixo vertical 3. Como 3>2, o eixo maior é vertical (comprimento 2\cdot 3=6) e o eixo menor é horizontal (comprimento 2\cdot 2=4). Para desenhar na prova: trace os eixos, marque os pontos (\pm 2,0) e (0,\pm 3), e ligue-os com uma curva suave em forma de elipse passando por esses pontos.

Passo 5

Determinando a direção quando t cresce. Calculamos a derivada vetor (velocidade do ponto):
\frac{dx}{dt}=-2\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=3\cos t.
Avaliações em pontos-chave mostram o sentido do movimento:
\begin{aligned} &t=0:\quad \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(0,3)\\ \Rightarrow\\ \text{o ponto em }(2,0)\text{ move-se para cima}.\\\ &t=\tfrac{\pi}{2}:\quad \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(-2,0)\\ \Rightarrow\\ \text{o ponto em }(0,3)\text{ move-se para a esquerda}. \end{aligned}
Essas direções combinadas mostram que, ao aumentar t de 0 a 2\pi, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio).

Passo 6

Observação prática para o esboço: marque alguns pontos intermediários, por exemplo t=\tfrac{\pi}{4} (x,y)=(2\cos\tfrac{\pi}{4},\,3\sin\tfrac{\pi}{4})=\bigl(\sqrt{2},\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr), para ver a inclinação naquele trecho. No desenho, acrescente setas ao longo da elipse apontando no sentido anti-horário para indicar a direção de crescimento de t. Lembre-se: o movimento não é com velocidade constante (a magnitude da velocidade é \sqrt{4\sin^{2}t+9\cos^{2}t}), mas para o esboço basta indicar a direção.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1, elipse centrada em (0,0) com semi-eixos 2 (horizontal) e 3 (vertical), percorrida no sentido anti-horário quando t vai de 0 a 2\pi.

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