Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede que a gente esboce as curvas correspondentes e indique a direção de crescimento do parâmetro
.
Informações relevantes que temos: e
estão expressos em função de
; o parâmetro
varia no intervalo
. A tarefa é: (1) encontrar a curva em coordenadas cartesianas para reconhecer sua forma, (2) localizar pontos importantes para desenhar o esboço, e (3) determinar a direção em que a curva é percorrida quando
aumenta.
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Eliminando o parâmetro para encontrar a equação cartesiana. Dividimos
por
e
por
e usamos a identidade trigonométrica
:
Elevando ao quadrado e somando:
Portanto a curva em coordenadas cartesianas é a elipse
Aqui cada símbolo significa:
e
são coordenadas no plano;
é o semi-eixo na direção
e
é o semi-eixo na direção
.
Passo 3
Localizando pontos-chave calculando a posição para valores típicos de
:
Esses quatro pontos são os interceptos da elipse com os eixos coordenados e são suficientes para orientar o esboço.
Passo 4
Interpretando a forma e as dimensões: a elipse está centrada em
, tem semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
. Como
, o eixo maior é vertical (comprimento
) e o eixo menor é horizontal (comprimento
). Para desenhar na prova: trace os eixos, marque os pontos
e
, e ligue-os com uma curva suave em forma de elipse passando por esses pontos.
Passo 5
Determinando a direção quando
cresce. Calculamos a derivada vetor (velocidade do ponto):
Avaliações em pontos-chave mostram o sentido do movimento:
Essas direções combinadas mostram que, ao aumentar
de
a
, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio).
Passo 6
Observação prática para o esboço: marque alguns pontos intermediários, por exemplo
dá
, para ver a inclinação naquele trecho. No desenho, acrescente setas ao longo da elipse apontando no sentido anti-horário para indicar a direção de crescimento de
. Lembre-se: o movimento não é com velocidade constante (a magnitude da velocidade é
), mas para o esboço basta indicar a direção.