Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva definida pelas equações paramétricas
indicando a direção de crescimento do parâmetro
.
Informações dadas: o par está parametrizado por
no intervalo
; as fórmulas explícitas de
e
são fornecidas. Queremos entender a forma geométrica da curva (para esboçar) e como ela é percorrida quando
cresce. Uma técnica comum é eliminar o parâmetro
para obter a equação cartesiana
em função de
(ou vice‑versa). Isso ajuda a reconhecer a família de curvas (reta, circunferência, parábola, etc.).
Informações dadas: o par
Passo 2
Da segunda equação isolamos
:
Agora usamos isso na primeira equação, que contém
. Substituindo:
Desenvolvendo a fração,
Uma forma equivalente e tradicional é
Passo 3
Interpretação da equação cartesiana:
é a equação de uma parábola com vértice em
, com eixo paralelo ao eixo
(ou seja, eixo horizontal) e que abre para a direita (porque o coeficiente de
é positivo). Em termos práticos: é uma parábola “de lado”, cujo ponto mais à esquerda é o vértice
.
Passo 4
Agora vamos analisar a direção que a curva é percorrida quando
cresce. Calculamos as derivadas:
Como
para todo
, a coordenada
aumenta sempre que
aumenta. Já
é negativa para
, zero em
e positiva para
. Isso significa: ao aumentar
de
até
,
diminui (movimento para a esquerda) enquanto
aumenta; ao aumentar
de
até
,
aumenta (movimento para a direita) enquanto
continua a aumentar. Em
temos o vértice (ponto onde
atinge mínimo).
Passo 5
Calculemos pontos chave (pegando-os da parametrização) para ajudar no esboço:
Observação: peguei esses dados diretamente das fórmulas paramétricas usando os valores de
indicados no enunciado.
Passo 6
Como esboçar na prática (passo a passo que você pode reproduzir na prova):
- Marque o vértice
. - Desenhe o eixo de simetria horizontal
(linha auxiliar). - Marque os pontos
, , e (esses pontos estão na parábola; dois deles têm mesma abscissa , mostrando a simetria em relação a ). - Ligue suavemente os pontos formando uma parábola que abre para a direita, passando por
subindo até o vértice e depois subindo para a direita até . - Coloque setas ao longo da curva mostrando a direção do crescimento de
: a seta deve começar em (correspondente a ), seguir subindo e indo para a esquerda até chegar em (correspondente a ), e depois seguir subindo e indo para a direita até (correspondente a ). Em palavras: o movimento é de baixo à direita → para o vértice → para cima à direita.
Passo 7
Intuição final e dica de prova: reparar que
depende de
gera simetria em torno de
(valores
e
dão o mesmo
mas
distintos). Como
sempre, o parâmetro ordena os pontos pela coordenada
— isso facilita indicar as setas: pontos com menor
ficam com menor
.
Resposta
A curva é percorrida, conforme