Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
x=t^{2}-1, y=2 t+3,-2 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva definida pelas equações paramétricas
x=t^{2}-1,\qquad y=2t+3,\qquad -2\le t\le 2,
indicando a direção de crescimento do parâmetro t.
Informações dadas: o par (x,y) está parametrizado por t no intervalo [-2,2]; as fórmulas explícitas de x(t) e y(t) são fornecidas. Queremos entender a forma geométrica da curva (para esboçar) e como ela é percorrida quando t cresce. Uma técnica comum é eliminar o parâmetro t para obter a equação cartesiana x em função de y (ou vice‑versa). Isso ajuda a reconhecer a família de curvas (reta, circunferência, parábola, etc.).

Passo 2

Da segunda equação isolamos t:
t=\frac{y-3}{2}.
Agora usamos isso na primeira equação, que contém t^{2}. Substituindo:
x=\left(\frac{y-3}{2}\right)^{2}-1.
Desenvolvendo a fração,
x=\frac{(y-3)^{2}}{4}-1.
Uma forma equivalente e tradicional é
(y-3)^{2}=4(x+1).

Passo 3

Interpretação da equação cartesiana: (y-3)^{2}=4(x+1) é a equação de uma parábola com vértice em (-1,3), com eixo paralelo ao eixo x (ou seja, eixo horizontal) e que abre para a direita (porque o coeficiente de x+1 é positivo). Em termos práticos: é uma parábola “de lado”, cujo ponto mais à esquerda é o vértice (-1,3).

Passo 4

Agora vamos analisar a direção que a curva é percorrida quando t cresce. Calculamos as derivadas:
\frac{dx}{dt}=2t,\qquad \frac{dy}{dt}=2.
Como \frac{dy}{dt}=2>0 para todo t, a coordenada y aumenta sempre que t aumenta. Já \frac{dx}{dt}=2t é negativa para t<0, zero em t=0 e positiva para t>0. Isso significa: ao aumentar t de -2 até 0, x diminui (movimento para a esquerda) enquanto y aumenta; ao aumentar t de 0 até 2, x aumenta (movimento para a direita) enquanto y continua a aumentar. Em t=0 temos o vértice (ponto onde x atinge mínimo).

Passo 5

Calculemos pontos chave (pegando-os da parametrização) para ajudar no esboço:
\begin{aligned} t=-2 &\Rightarrow x=(-2)^{2}-1=3,\quad y=2(-2)+3=-1\quad\text{ponto }(3,-1),\\\ t=-1 &\Rightarrow x=1-1=0,\quad y=-2+3=1\quad\text{ponto }(0,1),\\\ t=0 &\Rightarrow x=-1,\quad y=3\quad\text{vértice }(-1,3),\\\ t=1 &\Rightarrow x=0,\quad y=5\quad\text{ponto }(0,5),\\\ t=2 &\Rightarrow x=3,\quad y=7\quad\text{ponto }(3,7). \end{aligned}é
Observação: peguei esses dados diretamente das fórmulas paramétricas usando os valores de t indicados no enunciado.

Passo 6

Como esboçar na prática (passo a passo que você pode reproduzir na prova):
  1. Marque o vértice (-1,3).
  2. Desenhe o eixo de simetria horizontal y=3 (linha auxiliar).
  3. Marque os pontos (3,-1), (0,1), (0,5) e (3,7) (esses pontos estão na parábola; dois deles têm mesma abscissa x=0, mostrando a simetria em relação a y=3).
  4. Ligue suavemente os pontos formando uma parábola que abre para a direita, passando por (3,-1) subindo até o vértice (-1,3) e depois subindo para a direita até (3,7).
  5. Coloque setas ao longo da curva mostrando a direção do crescimento de t: a seta deve começar em (3,-1) (correspondente a t=-2), seguir subindo e indo para a esquerda até chegar em (-1,3) (correspondente a t=0), e depois seguir subindo e indo para a direita até (3,7) (correspondente a t=2). Em palavras: o movimento é de baixo à direita → para o vértice → para cima à direita.

Passo 7

Intuição final e dica de prova: reparar que x depende de t^{2} gera simetria em torno de y=3 (valores t e -t dão o mesmo x mas y distintos). Como \frac{dy}{dt}>0 sempre, o parâmetro ordena os pontos pela coordenada y — isso facilita indicar as setas: pontos com menor t ficam com menor y.

Resposta

(y-3)^{2}=4(x+1) (parábola com vértice em (-1,3) abrindo para a direita).
A curva é percorrida, conforme t cresce de -2 a 2, indo de (3,-1) para (0,1) para (-1,3) para (0,5) até (3,7); ou seja, seta iniciando em (3,-1), passando por (-1,3) e terminando em (3,7).

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