Calcule o comprimento de arco das curvas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva dada pela parametrização:
Informações relevantes fornecidas:
- As funções
e estão definidas para no intervalo . - Queremos o comprimento de arco ao longo dessa curva entre
e .
Passo 2
Fórmula do comprimento de uma curva parametrizada: Se uma curva é dada por
e
em um intervalo
, então o comprimento de arco
é
Explicando essa fórmula de forma didática: imagine dividir o intervalo
em pequenos pedaços. Em cada pedaço
varia pouco, e a curva se parece com um segmento de reta cujo comprimento aproximado é
. Passando ao limite e trocando
por
e
por
, somamos e obtemos a integral acima. Aqui
e
são as taxas de variação de
e
em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
.
Para
:
Para
aplicamos a regra da cadeia. Seja
. Então
. A derivada de
é
. Como
, temos
Então
Portanto:
Passo 4
Montar o integrando da fórmula do comprimento:
Agora notar que
é um quadrado perfeito:
Logo o integrando fica
Passo 5
Tratar o valor absoluto: no intervalo dado
temos
. Portanto
para todo
nesse intervalo. Assim o comprimento de arco é
Passo 6
Calcular a integral:
Avaliar de
a
: