Calcule o comprimento de arco das curvas:
x=t^{2}, y=\frac{(2 t+1)^{3 / 2}}{3}, 0 \leq t \leq 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva dada pela parametrização:
x=t^{2},\qquad y=\frac{(2t+1)^{3/2}}{3},\qquad 0\le t\le 4.
Informações relevantes fornecidas:
  • As funções x(t) e y(t) estão definidas para t no intervalo [0,4].
  • Queremos o comprimento de arco ao longo dessa curva entre t=0 e t=4.

Passo 2

Fórmula do comprimento de uma curva parametrizada: Se uma curva é dada por x=x(t) e y=y(t) em um intervalo [a,b], então o comprimento de arco L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Explicando essa fórmula de forma didática: imagine dividir o intervalo [a,b] em pequenos pedaços. Em cada pedaço t varia pouco, e a curva se parece com um segmento de reta cujo comprimento aproximado é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Passando ao limite e trocando \Delta x por \frac{dx}{dt}\Delta t e \Delta y por \frac{dy}{dt}\Delta t, somamos e obtemos a integral acima. Aqui \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as taxas de variação de x e y em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.
Para x(t)=t^{2}:
\frac{dx}{dt}=2t.
Para y(t)=\dfrac{(2t+1)^{3/2}}{3} aplicamos a regra da cadeia. Seja g(t)=2t+1. Então y(t)=\dfrac{g(t)^{3/2}}{3}. A derivada de g(t)^{3/2} é \dfrac{3}{2}g(t)^{1/2}\cdot g'(t). Como g'(t)=2, temos
\frac{d}{dt}\big(g(t)^{3/2}\big)=\frac{3}{2}\,g(t)^{1/2}\cdot 2 = 3\,g(t)^{1/2}.
Então
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{3}\cdot 3\,(2t+1)^{1/2}=(2t+1)^{1/2}.
Portanto:
\frac{dx}{dt}=2t,\qquad \frac{dy}{dt}=\sqrt{2t+1}.

Passo 4

Montar o integrando da fórmula do comprimento:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} =\sqrt{(2t)^{2}+\big(\sqrt{2t+1}\big)^{2}} =\sqrt{4t^{2}+2t+1}.
Agora notar que 4t^{2}+2t+1 é um quadrado perfeito:
4t^{2}+2t+1=(2t+1)^{2}.
Logo o integrando fica
\sqrt{(2t+1)^{2}}=|2t+1|.

Passo 5

Tratar o valor absoluto: no intervalo dado 0\le t\le 4 temos 2t+1\ge 1>0. Portanto |2t+1|=2t+1 para todo t nesse intervalo. Assim o comprimento de arco é
L=\int_{0}^{4}(2t+1)\;dt.

Passo 6

Calcular a integral:
\int(2t+1)\;dt = t^{2}+t + C.
Avaliar de 0 a 4:
L=\big[t^{2}+t\big]_{0}^{4}=(4^{2}+4)-(0^{2}+0)=16+4=20.

Resposta

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