Converta de coordenadas polares para cartesianas:
(2, \pi / 3)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. As informações fornecidas são:
r=2,\qquad \theta=\frac{\pi}{3},
ou seja, o ponto polar é (2,\tfrac{\pi}{3}).

Passo 2

A relação que usamos para converter de polares (r,\theta) para cartesianas (x,y) é:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Aqui, r é a distância do ponto até a origem (sempre não negativa) e \theta é o ângulo contado a partir do eixo x positivo. Essas fórmulas vêm da projeção do vetor posição sobre os eixos: a componente em x é a hipotenusa r vezes o cosseno do ângulo, a componente em y é r vezes o seno do ângulo.

Passo 3

Vamos calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\tfrac{\pi}{3}. Usando o triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ (ou valores trigonométricos conhecidos):
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}, \qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Esses valores são padrão e podem ser memorizados para facilitar na prova.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas com r=2:
x = r\cos\theta = 2\cdot\frac{1}{2}=1,
y = r\sin\theta = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Mostrei cada multiplicação passo a passo para você poder reproduzir sem calculadora.

Passo 5

Uma checagem rápida: \theta=\tfrac{\pi}{3} está no primeiro quadrante (0,\tfrac{\pi}{2}), então x e y devem ser positivos. Obtivemos x=1>0 e y=\sqrt{3}>0, consistente com a posição do ponto.

Resposta

(1,\sqrt{3})

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