Calcule o comprimento de arco das curvas:
x=t^{3}, y=t^{2}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por \;x=t^{3},\;y=t^{2}\; no intervalo \;0\le t\le 1.\n
Informações dadas:
x(t)=t^{3},\qquad y(t)=t^{2},\qquad t\in[0,1].
A pergunta é: qual é o comprimento de arco dessa curva entre t=0 e t=1?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela funciona, explicado de forma simples).\n
Para uma curva parametrizada por \;x(t),y(t)\; em [a,b], o comprimento de arco \;L\; é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Intuição: dividimos o intervalo em pequenos pedaços \Delta t; sobre cada pedaço o arco é aproximadamente um segmento de reta cujo comprimento é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Fazendo o limite quando as partições ficam finas, obtemos a integral acima. Aqui x'(t) e y'(t) são as taxas de variação de x e y em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas \;x'(t)\; e \;y'(t).\n
Usando a regra do poder (derivada de \;t^{n}\; é \;n t^{n-1}\;):
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.

Passo 4

Montar a integral do comprimento e simplificar o integrando.\n
Substituindo na fórmula:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{(3t^{2})^{2}+(2t)^{2}}\;dt=\int_{0}^{1}\sqrt{9t^{4}+4t^{2}}\;dt.
Fatorando t^{2} dentro da raiz:
\sqrt{9t^{4}+4t^{2}}=\sqrt{t^{2}(9t^{2}+4)}=|t|\sqrt{9t^{2}+4}.
Como t\in[0,1] temos t\ge 0, logo |t|=t. Portanto
L=\int_{0}^{1} t\sqrt{9t^{2}+4}\;dt.

Passo 5

Resolver a integral usando substituição (a técnica mais direta aqui).\n
Faça a substituição
u=9t^{2}+4 \quad\Rightarrow\quad du=18t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{18}.
Mudar os limites: quando t=0 temos u=9\cdot 0^{2}+4=4; quando t=1 temos u=9\cdot 1^{2}+4=13.\n
Assim a integral vira
L=\int_{u=4}^{u=13} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{18}=\frac{1}{18}\int_{4}^{13} u^{1/2}\;du.

Passo 6

Calcular a integral e avaliar os limites.\n
A primitivada de u^{1/2} é \tfrac{2}{3}u^{3/2}. Então
L=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{4}^{13}=\frac{1}{27}\bigl(13^{3/2}-4^{3/2}\bigr).
Simplificando 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8 e escrevendo 13^{3/2}=13\sqrt{13}, obtemos
L=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}.
Se quiser uma ideia numérica rápida (só para checar), \sqrt{13}\approx 3,6055 e isso dá L\approx 0,966. (Isto é só um número aproximado; a resposta exata está em cima.)

Resposta

\dfrac{13\sqrt{13}-8}{27}

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