Calcule o comprimento de arco das curvas:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A pergunta é: qual é o comprimento de arco dessa curva entre
e
?
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que ela funciona, explicado de forma simples).\n
Para uma curva parametrizada por em
, o comprimento de arco
é dado por
Para uma curva parametrizada por
Intuição: dividimos o intervalo em pequenos pedaços
; sobre cada pedaço o arco é aproximadamente um segmento de reta cujo comprimento é
. Fazendo o limite quando as partições ficam finas, obtemos a integral acima. Aqui
e
são as taxas de variação de
e
em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
.\n
Usando a regra do poder (derivada de é
):
Usando a regra do poder (derivada de
Passo 4
Montar a integral do comprimento e simplificar o integrando.\n
Substituindo na fórmula:
Substituindo na fórmula:
Fatorando
dentro da raiz:
Como
temos
, logo
. Portanto
Passo 5
Resolver a integral usando substituição (a técnica mais direta aqui).\n
Faça a substituição
Faça a substituição
Mudar os limites: quando
temos
; quando
temos
.\n
Assim a integral vira
Assim a integral vira
Passo 6
Calcular a integral e avaliar os limites.\n
A primitivada de é
. Então
A primitivada de
Simplificando
e escrevendo
, obtemos
Se quiser uma ideia numérica rápida (só para checar),
e isso dá
. (Isto é só um número aproximado; a resposta exata está em cima.)