Encontre
e
para as curvas paramétricas:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre
e
para a curva dada em paramétricas:
Informações relevantes fornecidas:
- As variáveis
e estão expressas em função do parâmetro . - Como aparece
, assumimos que (senão não está definida). - O que queremos é a primeira e a segunda derivada de
em relação a , escritas em termos de (e, se quisermos, em termos de também).
Passo 2
Regra geral para curvas paramétricas (a fórmula que vamos usar): quando
e
dependem de um parâmetro
, a derivada
pode ser computada como
desde que
. Explicando:
é a taxa de variação de
com
,
é a taxa de variação de
com
; a razão dá a taxa de variação de
com
(regra da cadeia / mudança de variável).
Passo 3
Calcular
para
. Usamos a fórmula da derivada do logaritmo: para
(com
),
Aqui
significa "um dividido por
".
Passo 4
Calcular
para
. Usamos a regra do expoente (power rule): para
,
. Assim,
Passo 5
Aplicar a fórmula da Passo 2 para obter
:
Agora simplificamos a fração: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Portanto, em função do parâmetro
,
Passo 6
Observação sobre domínio e validade:
é diferente de zero para todo
, logo a fórmula usada é válida para todo
. Bom saber isso para a prova: sempre verifique se
.
Passo 7
Se quisermos escrever
em função de
(às vezes pedem isso), usamos
. Substituindo,
Passo 8
Agora a segunda derivada. Fórmula prática para curvas paramétricas:
Explicação breve:
. Para derivar em relação a
quando a expressão está em função de
, aplicamos a regra da cadeia:
. Por isso decorremos a fórmula acima.
Passo 9
Calcular
. Já temos
, então
usando novamente a regra do expoente (derivada de
é
).
Passo 10
Aplicar a fórmula da Passo 8 dividindo pelo
encontrado no Passo 3:
Novamente dividir por
é multiplicar por
, logo
Portanto, em função de
,
Passo 11
Se quisermos a segunda derivada em função de
, substituímos
:
Verificação rápida e reconfortante: como
, derivando em
obtemos
, que bate com o resultado acima.