Encontre d y / d x e d^{2} y / d x^{2} para as curvas paramétricas:
x=\ln t, y=t^{2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} para a curva dada em paramétricas:
x=\ln t,\qquad y=t^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis x e y estão expressas em função do parâmetro t.
  • Como aparece \ln t, assumimos que t>0 (senão \ln t não está definida).
  • O que queremos é a primeira e a segunda derivada de y em relação a x, escritas em termos de t (e, se quisermos, em termos de x também).

Passo 2

Regra geral para curvas paramétricas (a fórmula que vamos usar): quando x e y dependem de um parâmetro t, a derivada \dfrac{dy}{dx} pode ser computada como
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0. Explicando: \dfrac{dy}{dt} é a taxa de variação de y com t, \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x com t; a razão dá a taxa de variação de y com x (regra da cadeia / mudança de variável).

Passo 3

Calcular \dfrac{dx}{dt} para x=\ln t. Usamos a fórmula da derivada do logaritmo: para x=\ln t (com t>0),
\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}.
Aqui \dfrac{1}{t} significa "um dividido por t".

Passo 4

Calcular \dfrac{dy}{dt} para y=t^{2}. Usamos a regra do expoente (power rule): para y=t^{n}, \dfrac{dy}{dt}=n t^{n-1}. Assim,
\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Passo 2 para obter \dfrac{dy}{dx}:
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{2t}{1/t}.
Agora simplificamos a fração: dividir por 1/t é o mesmo que multiplicar por t, então
\dfrac{2t}{1/t}=2t\cdot t=2t^{2}.
Portanto, em função do parâmetro t,
\dfrac{dy}{dx}=2t^{2}.

Passo 6

Observação sobre domínio e validade: \dfrac{dx}{dt}=1/t é diferente de zero para todo t>0, logo a fórmula usada é válida para todo t>0. Bom saber isso para a prova: sempre verifique se \dfrac{dx}{dt}\neq0.

Passo 7

Se quisermos escrever \dfrac{dy}{dx} em função de x (às vezes pedem isso), usamos x=\ln t\Rightarrow t=e^{x}. Substituindo,
\dfrac{dy}{dx}=2t^{2}=2(e^{x})^{2}=2e^{2x}.

Passo 8

Agora a segunda derivada. Fórmula prática para curvas paramétricas:
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}.
Explicação breve: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right). Para derivar em relação a x quando a expressão está em função de t, aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(\cdot)=\dfrac{1}{dx/dt}\dfrac{d}{dt}(\cdot). Por isso decorremos a fórmula acima.

Passo 9

Calcular \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right). Já temos \dfrac{dy}{dx}=2t^{2}, então
\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dt}(2t^{2})=4t,
usando novamente a regra do expoente (derivada de 2t^{2} é 2\cdot 2t=4t).

Passo 10

Aplicar a fórmula da Passo 8 dividindo pelo \dfrac{dx}{dt} encontrado no Passo 3:
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{4t}{1/t}.
Novamente dividir por 1/t é multiplicar por t, logo
\dfrac{4t}{1/t}=4t\cdot t=4t^{2}.
Portanto, em função de t,
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=4t^{2}.

Passo 11

Se quisermos a segunda derivada em função de x, substituímos t=e^{x}:
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=4t^{2}=4(e^{x})^{2}=4e^{2x}.
Verificação rápida e reconfortante: como \dfrac{dy}{dx}=2e^{2x}, derivando em x obtemos \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=4e^{2x}, que bate com o resultado acima.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2t^{2}=2e^{2x}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=4t^{2}=4e^{2x}

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