Calcule o comprimento de um arco AB definido em uma circunferência de raio 8 cm por um ângulo central AÔB de 120º

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de um arco AB numa circunferência que tem raio de 8 cm. O ângulo central que define esse arco é de 120º. Vamos usar um pouco de geometria, especificamente sobre como calcular o comprimento de um arco em uma circunferência. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona o comprimento do arco, o raio da circunferência e o ângulo central, que geralmente está em radianos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de um arco. A fórmula é:
L = r times theta
Aqui, $ L $ é o comprimento do arco, $ r $ é o raio da circunferência, e $ \theta $ é o ângulo central em radianos. Como o nosso ângulo está em graus, vamos precisar converter ele para radianos para usar essa fórmula.

Passo 3

Vamos converter o ângulo central de graus para radianos. A relação entre graus e radianos é baseada no fato de que $ 180^\circ $ equivalem a $ \pi $ radianos. Então, para converter graus para radianos, usamos a seguinte equação:
180^circ
No nosso caso, o ângulo é de $ 120^\circ $, então:
pi

Passo 4

Agora, vamos fazer a conta para encontrar $ \theta $ em radianos:
theta
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 60:
theta = 120 times ( pi180 ) = 120pi180

Passo 5

Com o valor de $ \theta $ em radianos, podemos usar a fórmula do comprimento do arco:
theta
Substituindo os valores que temos:
L = r times theta
Agora, vamos multiplicar:
L = 8 times 2pi3

Resposta

O comprimento do arco AB é $ \frac{16\pi}{3} $ cm, ou aproximadamente 16,76 cm.

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