Calcule o comprimento de um arco AB definido em uma circunferência de raio 8 cm por um ângulo central AÔB de 120º
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de um arco AB numa circunferência que tem raio de 8 cm. O ângulo central que define esse arco é de 120º. Vamos usar um pouco de geometria, especificamente sobre como calcular o comprimento de um arco em uma circunferência. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona o comprimento do arco, o raio da circunferência e o ângulo central, que geralmente está em radianos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de um arco. A fórmula é:
Aqui, $ L $ é o comprimento do arco, $ r $ é o raio da circunferência, e $ \theta $ é o ângulo central em radianos. Como o nosso ângulo está em graus, vamos precisar converter ele para radianos para usar essa fórmula.
Passo 3
Vamos converter o ângulo central de graus para radianos. A relação entre graus e radianos é baseada no fato de que $ 180^\circ $ equivalem a $ \pi $ radianos. Então, para converter graus para radianos, usamos a seguinte equação:
No nosso caso, o ângulo é de $ 120^\circ $, então:
Passo 4
Agora, vamos fazer a conta para encontrar $ \theta $ em radianos:
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 60:
Passo 5
Com o valor de $ \theta $ em radianos, podemos usar a fórmula do comprimento do arco:
Substituindo os valores que temos:
Agora, vamos multiplicar:
Resposta
O comprimento do arco AB é $ \frac{16\pi}{3} $ cm, ou aproximadamente 16,76 cm.