Calcule o comprimento do arco de equação paramétrica
x=\cos t \quad y=\operatorname{sen} t \quad z=2 t \quad 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
x=\cos t,\quad y=\operatorname{sen} t,\quad z=2t,\quad 0\le t\le \pi.
O conteúdo envolvido é o comprimento de arco de uma curva no espaço, e vamos usar a fórmula que integra a velocidade escalar ao longo do parâmetro.

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco L de uma curva \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) para t de a até b é
L = \int_{a}^{b} \sqrt{\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^{2} + \biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^{2} + \biggl(\frac{dz}{dt}\biggr)^{2}} \, dt.

Passo 3

Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt} = -\operatorname{sen} t,\quad \frac{dy}{dt} = \cos t,\quad \frac{dz}{dt} = 2.

Passo 4

Somando os quadrados das derivadas temos
(-\operatorname{sen} t)^{2} + (\cos t)^{2} + 2^{2} = \operatorname{sen}^{2}t + \cos^{2}t + 4 = 1 + 4 = 5,
pois \operatorname{sen}^{2}t + \cos^{2}t = 1. Logo a velocidade escalar é constante: \sqrt{5}.

Passo 5

Como a integranda é constante, o comprimento é
L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{5}\,dt = \sqrt{5}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} = \pi\sqrt{5}.

Resposta

\pi\sqrt{5}

Exercícios relacionados