Suponha que um arame semicircular tenha equação y=\sqrt{4-x^{2}} e sua função densidade seja \delta(x, y)=6-y. Calcule a massa desse arame.

Passo 1

O enunciado apresenta um arame semicircular de raio 2 dado por
y = \sqrt{4 - x^{2}},
e densidade linear \delta(x,y)=6 - y. Precisamos calcular a massa via integral de linha
m = \int_C \delta(x,y)\,\mathrm{d}s.

Passo 2

Para aplicar a integral de linha, parametrizamos a semicircunferência no sentido anti-horário:
\begin{cases} x(t) = 2\cos t,\\\ y(t) = 2\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,\pi].

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-2\sin t,\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2\cos t \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}s=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}\,\mathrm{d}t=2\,\mathrm{d}t.
Na parametrização, a densidade fica \delta(t)=6 - y(t)=6 - 2\sin t.

Passo 4

A massa é
m=\int_{0}^{\pi}\bigl(6 - 2\sin t\bigr)\,2\,\mathrm{d}t =2\int_{0}^{\pi}(6 - 2\sin t)\,\mathrm{d}t.
Separando e integrando:
2\Bigl[6\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}t \;-\;2\int_{0}^{\pi}\sin t\,\mathrm{d}t\Bigr] =2\bigl[6\pi -2\cdot 2\bigr] =12\pi -8.

Resposta

A massa do arame é 12\pi - 8.

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