Calcule a integral de linha ao longo do caminho xey
\oint x y d x+2 x^{2}+2 y^{2} d y
ao longo do arco circular x=\cos t \quad y=\operatorname{sen} t \quad 0 \leq t \leq \frac{3 \pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,y\,dx \;+\;(2x^{2}+2y^{2})\,dy
onde C é o arco da circunferência unitária dado por
x=\cos t,\quad y=\sin t, \quad 0\le t\le \tfrac{3\pi}{2}.
O conteúdo aqui é parametrização de curva e integração direta de funções de t.

Passo 2

Parametrizando em função de t, temos
dx = \frac{d}{dt}(\cos t)\,dt = -\sin t\,dt, \qquad dy = \frac{d}{dt}(\sin t)\,dt = \cos t\,dt.

Passo 3

Substituindo x=\cos t, y=\sin t, dx e dy na integral, obtemos
x\,y\,dx =(\cos t\sin t)\,(-\sin t\,dt) =-\cos t\,\sin^{2}t\,dt
e
(2x^{2}+2y^{2})\,dy =2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)\,(\cos t\,dt) =2\cdot1\cdot\cos t\,dt =2\cos t\,dt.
Logo o integrando total é
-\cos t\,\sin^{2}t + 2\cos t =\cos t\,(2-\sin^{2}t) =\cos t\,(1+\cos^{2}t).

Passo 4

A integral torna-se
\int_{0}^{\tfrac{3\pi}{2}} \cos t\,(1+\cos^{2}t)\,dt =\int_{0}^{\tfrac{3\pi}{2}}\cos t\,dt +\int_{0}^{\tfrac{3\pi}{2}}\cos^{3}t\,dt.
Sabemos que
\int\cos t\,dt = \sin t, \qquad \int\cos^{3}t\,dt =\int\cos t\,(1-\sin^{2}t)\,dt =\sin t - \tfrac{\sin^{3}t}{3}.
Portanto um antiderivado é
\sin t \;+\;\bigl(\sin t - \tfrac{\sin^{3}t}{3}\bigr) =2\sin t - \tfrac{\sin^{3}t}{3}.

Passo 5

Avaliamo-lo entre 0 e \tfrac{3\pi}{2}:
em t=\tfrac{3\pi}{2}, \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1, então
2(-1)-\tfrac{(-1)^{3}}{3} =-2 -\bigl(-\tfrac13\bigr) =-2+\tfrac13 =-\tfrac{5}{3}.
Em t=0, \sin0=0 dá zero. Logo o valor da integral é
-\tfrac{5}{3}.

Resposta

-\tfrac{5}{3}.

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