Calcule a integrais de linha
\oint x^{2} y d s \quad C: x=t \quad y=3 t \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar
\int_{C} x^{2}y\,ds
na curva C dada por
x(t)=t,\quad y(t)=3t,\quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, que exige parametrizar C, achar ds e substituir no integrando.

Passo 2

Parametrizamos e calculamos o elemento de comprimento de arco ds. Temos
\frac{dx}{dt}=1,\quad \frac{dy}{dt}=3,
então
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt =\sqrt{1+9}\;dt =\sqrt{10}\;dt.

Passo 3

Substituímos x=t, y=3t no integrando x^{2}y:
x^{2}y=(t)^{2}\,(3t)=3t^{3}.
Multiplicando por ds fica
x^{2}y\,ds=3t^{3}\,\sqrt{10}\;dt.

Passo 4

Agora integramos em t de 0 a 1:
\int_{C}x^{2}y\,ds =\int_{0}^{1}3t^{3}\sqrt{10}\;dt =\sqrt{10}\int_{0}^{1}3t^{3}\;dt =\sqrt{10}\,\biggl[\frac{3}{4}t^{4}\biggr]_{0}^{1} =\sqrt{10}\cdot\frac{3}{4} =\frac{3\sqrt{10}}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{4}

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