Calcule o comprimento de arco da função no intervalo dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da função
no intervalo de
que vai de 0 até 4. Isso envolve um pouco de Cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco para funções parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função que está definida em termos de
. A fórmula geral é:
Aqui,
é o comprimento do arco,
e
são os limites do intervalo, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:
Passo 6
Para simplificar a integral, podemos fatorar:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver essa integral usando uma substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando
:
Então,
Passo 10
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O comprimento de arco da função no intervalo dado é aproximadamente 9,07 unidades.