Calcule o comprimento de arco da função no intervalo dado:
x=raizy^3, 0 <= y <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da função x = raizy^3 no intervalo de y que vai de 0 até 4. Isso envolve um pouco de Cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco para funções parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função que está definida em termos de y . A fórmula geral é:
L = integrala^b raiz1 + ( dxdy )^2 , dy
Aqui, L é o comprimento do arco, a e b são os limites do intervalo, e dxdy é a derivada de x em relação a y .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função x = raizy^3 . Primeiro, precisamos calcular a derivada de x em relação a y :
dxdy = ddy ( y^3/2 ) = 32 y^1/2

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
( dxdy )^2 = ( 32 y^1/2 )^2 = 94 y

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:
L = integral0^4 raiz1 + 94 y , dy

Passo 6

Para simplificar a integral, podemos fatorar:
1 + 94 y = 94 y + 1
Então, a integral fica:
L = integral0^4 raiz94 y + 1 , dy

Passo 7

Vamos resolver essa integral usando uma substituição. Seja:
u = 94 y + 1
Então, a derivada de u em relação a y é:
dudy = 94 Rightarrow dy = 49 du

Passo 8

Substituindo na integral:
L = integralu=1^u=10 raizu cdot 49 , du = 49 integral1^10 u^1/2 , du

Passo 9

Integrando u^1/2 :
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Então,
L = 49 cdot 23 [ u^3/2 ]1^10 = 827 ( 10^3/2 - 1^3/2 )

Passo 10

Calculando os valores:
10^3/2 = 10 raiz10 approx 31,6228 e 1^3/2 = 1
Então,
L approx 827 (31,6228 - 1) = 827 times 30,6228 approx 9,07

Resposta

O comprimento de arco da função no intervalo dado é aproximadamente 9,07 unidades.

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