Calcule o comprimento de arco da função no intervalo dado:
y=1-x^22,-1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular o comprimento do arco da função y = 1 - x^22 no intervalo de x = -1 até x = 1 . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de Cálculo Diferencial e Integral, onde estudamos como determinar o comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função y = f(x) entre x = a e x = b . A fórmula é:
L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx
Isso significa que a gente precisa encontrar a derivada de y em relação a x , elevar ao quadrado, somar 1 e depois calcular a integral desse resultado no intervalo dado.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de y em relação a x . A função é y = 1 - x^22 .
dydx = -2x2 = -x
Então, dydx = -x .

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
(dydx)^2 = (-x)^2 = x^2
Então, (dydx)^2 = x^2 .

Passo 5

Somamos 1 a esse resultado:
1 + (dydx)^2 = 1 + x^2
Logo, a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco fica 1 + x^2 .

Passo 6

Agora, substituímos isso na fórmula da integral:
L = integral-1^1 raiz1 + x^2 , dx
Então, precisamos calcular essa integral para encontrar o comprimento do arco.

Passo 7

Para resolver a integral integral raiz1 + x^2 , dx , usamos uma substituição trigonométrica ou uma fórmula padrão de integração. A integral de raiz1 + x^2 é:
integral raiz1 + x^2 , dx = x2 raiz1 + x^2 + 12 sinh^-1(x) + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos calculando um valor específico, vamos aplicar os limites de integração de -1 a 1.

Passo 8

Aplicando os limites:
L = [ x2 raiz1 + x^2 + 12 sinh^-1(x) ]-1^1
Calculando para x = 1 :
12 raiz1 + 1^2 + 12 sinh^-1(1) = 12 raiz2 + 12 ln(1 + raiz2)
E para x = -1 :
-12 raiz1 + (-1)^2 + 12 sinh^-1(-1) = -12 raiz2 + 12 ln(1 + raiz2) times (-1)
Subtraindo o valor em x = -1 do valor em x = 1 :
L = ( raiz22 + 12 ln(1 + raiz2) ) - ( -raiz22 - 12 ln(1 + raiz2) ) = raiz2 + ln(1 + raiz2)

Resposta

O comprimento do arco da função y = 1 - x^22 no intervalo de x = -1 até x = 1 é:
L = raiz2 + ln(1 + raiz2)

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