Calcule o comprimento de arco da função no intervalo dado:
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular o comprimento do arco da função
no intervalo de
até
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de Cálculo Diferencial e Integral, onde estudamos como determinar o comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
entre
e
. A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, elevar ao quadrado, somar 1 e depois calcular a integral desse resultado no intervalo dado.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A função é
.
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Então,
.
Passo 5
Somamos 1 a esse resultado:
Logo, a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco fica
.
Passo 6
Agora, substituímos isso na fórmula da integral:
Então, precisamos calcular essa integral para encontrar o comprimento do arco.
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos uma substituição trigonométrica ou uma fórmula padrão de integração. A integral de
é:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando um valor específico, vamos aplicar os limites de integração de -1 a 1.
Passo 8
Aplicando os limites:
Calculando para
:
E para
:
Subtraindo o valor em
do valor em
:
Resposta
O comprimento do arco da função
no intervalo de
até
é: