Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=e^x sen z j+y tg^-1(x / z) k

Passo 1

O enunciado pede o rotacional e o divergente do campo vetorial
F(x,y,z)=e^xsin z,j+yarctan!l(tfracxzr),k.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e uso das definições
nablatimesF e nablacdotF,
para um campo F=(P,Q,R).

Passo 2

Para o rotacional definimos
P=0, Q=e^xsin z, R=yarctan!(tfracxz),
e usamos
nablatimesF = i & j & k[6pt] partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z[3pt] P & Q & R
Fazendo o cálculo de cada componente do determinante:
Para a componente i temos
partial Rpartial y-partial Qpartial z =arctan!(tfracxz);-;e^xcos z
Para a componente j temos
partial Ppartial z-partial Rpartial x =-y,ddx![arctan!(tfracxz)] =-ycdot11+(x/z)^2cdot1z =-yzx^2+z^2
Para a componente k temos
partial Qpartial x-partial Ppartial y =partialpartial xl[e^xsin zr] =e^xsin z
Logo,
nablatimesF =l(arctan!tfracxz-e^xcos zr),i -yzx^2+z^2,j +e^xsin z,k
]

Passo 3

Para o divergente usamos
nablacdotF =partial Ppartial x +partial Qpartial y +partial Rpartial z
Aqui partial P/partial x=0 e partial Q/partial y=0. Para
R=yarctan(x/z) temos
partial Rpartial z =y,ddz!l[arctan!l(tfracxzr)r] =ycdot11+(x/z)^2cdotl(-tfracxz^2r) =-xyx^2+z^2
Portanto,
nablacdotF =-xyx^2+z^2

Resposta

(a) nablatimesF =l(arctan(tfracxz)-e^xcos zr),i -yzx^2+z^2,j +e^xsin z,k
(b) nablacdotF =-xyx^2+z^2

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