Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto t=0.
r(t)=lang<= t e^-t, 2 arctg(t), 2 e^trang<=

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto t=0 para a curva
r(t)=llang<= t e^-t,,2arctan(t),,2e^trrang<=
Por definição,
T(t)=r'(t)l|r'(t)r|,
então precisamos calcular r'(t), avaliá-lo em t=0 e normalizar.

Passo 2

Calculemos a derivada componente a componente:
  • Para x(t)=t e^-t,
x'(t)=ddtl(t e^-tr) =e^-t-t e^-t=e^-t(1-t)
  • Para y(t)=2arctan(t),
y'(t)=2cdot11+t^2=21+t^2
  • Para z(t)=2e^t,
z'(t)=2e^t
Assim
r'(t) =llang<= e^-t(1-t),,tfrac21+t^2,,2e^trrang<=
Em t=0 isso vale
r'(0)=llang<= e^0(1-0),,tfrac21+0,,2e^0rrang<= =lang<= 1,,2,,2rang<=

Passo 3

Agora encontramos o comprimento de r'(0):
l|r'(0)r| =raiz1^2+2^2+2^2 =raiz1+4+4 =raiz9 =3

Passo 4

Finalmente, o vetor tangente unitário em t=0 é
T(0) =r'(0)|r'(0)| =13lang<= 1,,2,,2rang<= =llang<= tfrac13,,tfrac23,,tfrac23rrang<=

Resposta

T(0)=llang<= tfrac13,,tfrac23,,tfrac23rrang<=

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