Questão 5.
(EXTRA - 2,0 pt) Encontre a solução geral da equação diferencial
y^prime prime-y^prime-6 y=0,
sabendo que varphi1(x)=e^3 x e varphi2(x)=e^-2 x são soluções da equação.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''-y'-6y=0
Ele informa ainda que varphi1(x)=e^3x e varphi2(x)=e^-2x são duas de suas soluções. Vamos usar teoria de equações homogêneas de coeficientes constantes para obter a solução geral.

Passo 2

Para resolver, montamos a equação característica associada, trocando ymapsto e^rx:
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática: r^2 - r - 6 = 0 aplicando fórmula de Bhaskara ou fatorando. Fatorando: (r-3)(r+2)=0, logo as raízes são
r1 = 3,
r2 = -2
Isso confirma que e^3x e e^-2x são soluções.

Passo 4

Pela teoria de superposição para equações lineares homogêneas, se varphi1 e varphi2 são independentes linearmente, a solução geral é combinação linear delas:

Resposta

y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-2x}

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