Questão 5.
(EXTRA - 2,0 pt) Encontre a solução geral da equação diferencial
sabendo que
e
são soluções da equação.
(EXTRA - 2,0 pt) Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Ele informa ainda que
e
são duas de suas soluções. Vamos usar teoria de equações homogêneas de coeficientes constantes para obter a solução geral.
Passo 2
Para resolver, montamos a equação característica associada, trocando
:
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática:
aplicando fórmula de Bhaskara ou fatorando. Fatorando:
, logo as raízes são
Isso confirma que
e
são soluções.
Passo 4
Pela teoria de superposição para equações lineares homogêneas, se
e
são independentes linearmente, a solução geral é combinação linear delas:
Resposta
y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-2x}