Questão 4.
Encontre a solução do problema de valor inicial
sabendo que
é solução da equação diferencial acima.
Passo 1
O exercício pede para resolver o problema de valor inicial
e já sabemos que
é uma solução particular. Esse tipo de equação é uma Riccati, e vamos usar a técnica de redução a uma equação linear aproveitando a solução particular.
Passo 2
Para diminuir a ordem não linear, fazemos a mudança de variável
Calculando a derivada, obtemos
Passo 3
Agora substituímos
e
em
e usamos que
já satisfaz a equação. Depois de simplificar, chegamos à ODE linear em
:
Passo 4
Para resolver essa equação linear, o fator integrante é
Multiplicando tudo por
Integrando,
Logo
Passo 5
Voltando à solução
, escrevemos em função de
:
Passo 6
Para determinar
, impondo
, temos
Assim fixamos a constante da solução.