Questão 4.
(2,5 pt) Encontre a solução do problema de valor inicial
l y^prime=-x^-2-x^-1 y+y^2 y(1)=2
sabendo que varphi(x)=1x é solução da equação diferencial acima.

Passo 1

O exercício pede para resolver o problema de valor inicial
y' = -x^-2 - x^-1y + y^2, y(1) = 2
e já sabemos que varphi(x)=1/x é uma solução particular. Esse tipo de equação é uma Riccati, e vamos usar a técnica de redução a uma equação linear aproveitando a solução particular.

Passo 2

Para diminuir a ordem não linear, fazemos a mudança de variável
y(x)=varphi(x)+1v(x)=1x+1v(x)
Calculando a derivada, obtemos
y'= -1x^2 - v'v^2

Passo 3

Agora substituímos y e y' em
y' = -x^-2 - x^-1y + y^2
e usamos que varphi(x)=1/x já satisfaz a equação. Depois de simplificar, chegamos à ODE linear em v:
v' + 1xv = -1

Passo 4

Para resolver essa equação linear, o fator integrante é
mu(x)=e^integral1xdx=x
Multiplicando tudo por x temos
(xv)' = -x
Integrando,
xv = -x^22 + C
Logo
v(x) = -x2 + Cx

Passo 5

Voltando à solução y, escrevemos em função de C:
y(x)=1x+1v(x) = 1x + 1-x2+Cx = 1x + xC - x^22

Passo 6

Para determinar C, impondo y(1)=2, temos
2 = 1 + 1C - tfrac12 Longrightarrow C - tfrac12 = 1 Longrightarrow C=tfrac32
Assim fixamos a constante da solução.

Resposta

y(x)=x^2+3x,(3 - x^2)

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