Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies.
o semielipsoide x^2+y^2+4 z^2=4, y >= 0 e o parabólico y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a curva que é interseção do semielipsoide
x^2+y^2+4z^2=4, y>=0
com o paraboloide
y = x^2
O que faremos é usar y=x^2 para eliminar y na equação do semielipsoide e, em seguida, introduzir um parâmetro único para descrever (x,y,z).

Passo 2

Da segunda superfície temos
y = x^2
Substituindo em
x^2+y^2+4z^2=4
vem
x^2 + (x^2)^2 + 4z^2 = 4 Longrightarrow x^2 + x^4 + 4z^2 = 4

Passo 3

Isolamos z^2 e depois z:
4z^2 = 4 - x^2 - x^4 Longrightarrow z^2 = 4 - x^2 - x^44 Longrightarrow z = pm 12raiz,4 - x^2 - x^4,

Passo 4

Escolhemos x=t como parâmetro. Então
y = t^2, z = pm 12raiz4 - t^2 - t^4
O domínio de t deve garantir que o radicando seja não-negativo, isto é
4 - t^2 - t^4 >= 0 Long<=ftrightarrow t^4+t^2-4<=0 Longrightarrow |t|<= raizraiz17-12

Passo 5

Portanto a parametrização da curva de interseção, incluindo as partes superior e inferior em z, é
r(t) = l(t,;t^2,;tfrac12raiz4 - t^2 - t^4r), r(t) = l(t,;t^2,;-tfrac12raiz4 - t^2 - t^4r),
com
tin l[-raiztfracraiz17-12,,raiztfracraiz17-12r]

Resposta

boxed r(t) = l(t,;t^2,;pmtfrac12raiz4 - t^2 - t^4r), tin l[-raiztfracraiz17-12,,raiztfracraiz17-12r]

Exercícios relacionados