Calcule o comprimento de arco do gráfico da função f e a área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento de arco do gráfico da função
no intervalo de
até
. Além disso, queremos saber a área da superfície de revolução que obtemos ao girar esse gráfico em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de comprimento de arco e área de superfície de revolução, que envolvem cálculo de derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
porque tanto o comprimento de arco quanto a área da superfície de revolução dependem dela.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento de arco usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
é:
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Calculando cada parte:
Então:
Aproximando o valor numérico:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos utilizar uma aproximação numérica, como a Regra de Simpson. Após aplicar essa técnica, obtemos:
Então, substituindo de volta na fórmula da área:
Resposta
O comprimento de arco do gráfico de
no intervalo de 0 a 1 é aproximadamente 1,219 unidades e a área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico em torno do eixo
é aproximadamente 2,190 unidades².