Calcule o comprimento de arco do gráfico da função f e a área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico em torno do eixo x.
f(x)=23 x^3 / 2, 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento de arco do gráfico da função f(x) = 23x^3/2 no intervalo de x = 0 até x = 1 . Além disso, queremos saber a área da superfície de revolução que obtemos ao girar esse gráfico em torno do eixo x . Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de comprimento de arco e área de superfície de revolução, que envolvem cálculo de derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) porque tanto o comprimento de arco quanto a área da superfície de revolução dependem dela.
A função é:
f(x) = 23x^3/2
A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = ddx ( 23x^3/2 ) = 23 cdot 32x^1/2 = x^1/2

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento de arco usando a fórmula:
L = integrala^b raiz1 + [f'(x)]^2 , dx
Substituindo os valores que temos:
L = integral0^1 raiz1 + (x^1/2)^2 , dx = integral0^1 raiz1 + x , dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de raiz1 + x é:
integral raiz1 + x , dx = 23(1 + x)^3/2 + C
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
L = [ 23(1 + x)^3/2 ]0^1 = 23(2)^3/2 - 23(1)^3/2
Calculando cada parte:
(2)^3/2 = 2 raiz2
(1)^3/2 = 1
Então:
L = 23 cdot 2raiz2 - 23 cdot 1 = 4raiz23 - 23 = 4raiz2 - 23
Aproximando o valor numérico:
L approx 4 times 1.4142 - 23 = 5.6568 - 23 = 3.65683 approx 1.219 , unidades

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução usando a fórmula:
S = 2pi integrala^b f(x) raiz1 + [f'(x)]^2 , dx
Substituindo os valores:
S = 2pi integral0^1 23x^3/2 raiz1 + x , dx
S = 4pi3 integral0^1 x^3/2 raiz1 + x , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos utilizar uma aproximação numérica, como a Regra de Simpson. Após aplicar essa técnica, obtemos:
integral0^1 x^3/2 raiz1 + x , dx approx 0.5226
Então, substituindo de volta na fórmula da área:
S approx 4pi3 times 0.5226 approx 2.190 , unidades^2

Resposta

O comprimento de arco do gráfico de f(x) = 23x^3/2 no intervalo de 0 a 1 é aproximadamente 1,219 unidades e a área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico em torno do eixo x é aproximadamente 2,190 unidades².

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