2- Utilize integração por partes:
(i) Para determinar integral sec ^3 theta d theta e integral sec ^5 theta d theta.
(ii) Para demonstrar que, se n in N,
integral sec ^n+2 theta d theta=1n+1 sec ^n theta+nn+1 integral sec ^n theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para usarmos integração por partes na integral de potências ímpares de sectheta. Especificamente: (i) calcular
integral sec^3theta,dtheta e integral sec^5theta,dtheta,
e (ii) mostrar o “fórmula de redução”
integral sec^n+2theta,dtheta =1n+1,sec^ntheta,tantheta +nn+1,integral sec^ntheta,dtheta
Vamos lembrar que a técnica é escolher u e dv de modo que a nova integral seja mais simples ou volte a uma potência menor de sectheta.

Passo 2

Para integral sec^3theta,dtheta, escrevemos
integral sec^3theta,dtheta =integral sectheta;sec^2theta,dtheta
Fazemos a escolha
u=sectheta, dv=sec^2theta,dtheta
Então
du=sectheta,tantheta,dtheta, v=tantheta
Pela fórmula integral u,dv=u,v-integral v,du, vem
integral sec^3theta,dtheta =sectheta,tantheta -integral tantheta;l(sectheta,tanthetar),dtheta =sectheta,tantheta -integral sectheta,tan^2theta,dtheta
Como tan^2theta=sec^2theta-1, temos
integral sec^3theta,dtheta =sectheta,tantheta -integral sectheta,(sec^2theta-1),dtheta =sectheta,tantheta -integral sec^3theta,dtheta +integral sectheta,dtheta

Passo 3

Reagrupando integral sec^3theta,dtheta em ambos os lados:
2!integral sec^3theta,dtheta =sectheta,tantheta +integral sectheta,dtheta
E sabemos que
integral sectheta,dtheta =ln!l|sectheta+tanthetar|+C
Logo
integral sec^3theta,dtheta =tfrac12,sectheta,tantheta +tfrac12,ln!l|sectheta+tanthetar|+C

Passo 4

Para integral sec^5theta,dtheta, procedemos de modo semelhante:
integral sec^5theta,dtheta =integral sec^3theta;sec^2theta,dtheta,
escolhendo
u=sec^3theta, dv=sec^2theta,dtheta ;Longrightarrow; du=3sec^3theta,tantheta,dtheta,; v=tantheta
Pela integração por partes:
integral sec^5theta,dtheta =sec^3theta,tantheta -3integral sec^3theta,tan^2theta,dtheta
De novo tan^2theta=sec^2theta-1, então
integral sec^5theta,dtheta =sec^3theta,tantheta -3integral sec^5theta,dtheta +3integral sec^3theta,dtheta,
isto é,
4!integral sec^5theta,dtheta =sec^3theta,tantheta +3!integral sec^3theta,dtheta
Substituindo o resultado de integralsec^3theta,dtheta, obtemos
integral sec^5theta,dtheta =tfrac14,sec^3theta,tantheta +tfrac34l[tfrac12,sectheta,tantheta +tfrac12,ln!l|sectheta+tanthetar|r] + C

Passo 5

Agora a demonstração geral. Seja ninN. Começamos com
integral sec^n+2theta,dtheta =integral sec^ntheta;sec^2theta,dtheta
Tomamos
u=sec^ntheta, dv=sec^2theta,dtheta ;Longrightarrow; du=n,sec^ntheta,tantheta,dtheta,; v=tantheta
Então
integral sec^n+2theta,dtheta =sec^ntheta,tantheta -nintegral sec^ntheta,tan^2theta,dtheta
Substituindo tan^2theta=sec^2theta-1 obtemos
integral sec^n+2theta,dtheta =sec^ntheta,tantheta -n!integral sec^n+2theta,dtheta +n!integral sec^ntheta,dtheta
Reunindo o termo integral sec^n+2theta,dtheta do lado esquerdo:
(1+n),integral sec^n+2theta,dtheta =sec^ntheta,tantheta +n!integral sec^ntheta,dtheta,
e daí segue a fórmula de redução desejada:
integral sec^n+2theta,dtheta =1n+1,sec^ntheta,tantheta +nn+1,integral sec^ntheta,dtheta

Resposta

(i)
integral sec^3theta,dtheta =12,sectheta,tantheta +12,ln!l|sectheta+tanthetar|+C,
integral sec^5theta,dtheta =14,sec^3theta,tantheta +38,sectheta,tantheta +38,ln!l|sectheta+tanthetar|+C
(ii)
boxed integral sec^n+2theta,dtheta =1n+1,sec^ntheta,tantheta +nn+1,integral sec^ntheta,dtheta

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