2- Utilize integração por partes:
(i) Para determinar
e
.
(ii) Para demonstrar que, se
,
(i) Para determinar
(ii) Para demonstrar que, se
Passo 1
O enunciado pede para usarmos integração por partes na integral de potências ímpares de
. Especificamente: (i) calcular
e (ii) mostrar o “fórmula de redução”
Vamos lembrar que a técnica é escolher
e
de modo que a nova integral seja mais simples ou volte a uma potência menor de
.
Passo 2
Para
, escrevemos
Fazemos a escolha
Então
Pela fórmula
, vem
Como
, temos
Passo 3
Reagrupando
em ambos os lados:
E sabemos que
Logo
Passo 4
Para
integral sec^5theta,dtheta , procedemos de modo semelhante:
escolhendo
Pela integração por partes:
De novo
tan^2theta=sec^2theta-1 , então
isto é,
Substituindo o resultado de
integralsec^3theta,dtheta , obtemos
Passo 5
Agora a demonstração geral. Seja
ninN . Começamos com
Tomamos
Então
Substituindo
tan^2theta=sec^2theta-1 obtemos
Reunindo o termo
integral sec^n+2theta,dtheta do lado esquerdo:
e daí segue a fórmula de redução desejada:
Resposta
(i)
(ii)