Calcule o comprimento da curva dada.
gamma(t)=(t, 2 t, t^2), t in[1,2];

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva gamma:[1,2]toR^3 definida por
gamma(t) = l(t,,2t,,t^2r)
Conteúdo: cálculo de comprimento de arco de curva no espaço. Vamos usar a fórmula
L = integral1^2 |gamma'(t)|;dt

Passo 2

Calculamos a derivada vetorial e sua norma:
gamma'(t) = l(1,,2,,2tr),
|gamma'(t)| = raiz1^2 + 2^2 + (2t)^2 = raiz5 + 4t^2

Passo 3

O comprimento é
L = integral1^2 raiz4t^2 + 5;dt

Passo 4

Para encontrar uma antiderivada, fazemos a substituição u = 2t, du = 2,dt. Então
integral raiz4t^2+5,dt = tfrac12integral raizu^2+5,du = tfrac12l(u2raizu^2+5 + 52lnl|u+raizu^2+5r|r) + C
Voltando a t,
integral raiz4t^2+5,dt = t2raiz4t^2+5 + 54lnl(2t + raiz4t^2+5r) + C

Passo 5

Avaliaremos de t=1 a t=2. Primeiro note que para t=2, raiz4cdot2^2+5=raiz21; para t=1, raiz4cdot1^2+5=3. Portanto
L = l[t2raiz4t^2+5 + 54lnl(2t + raiz4t^2+5r)r]1^2 = l(raiz21 + 54ln!l(4+raiz21r)r) - l(32 + 54ln 5r)
Isto simplifica para
L = raiz21 - 32 + 54ln!l(4+raiz215r)

Resposta

L = raiz21 - 32 + 54ln!l(4+raiz215r)

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