Calcule o comprimento de arco do gráfico da função f e a área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas coisas para a função
:
- Comprimento de Arco do gráfico dessa função.
- Área da Superfície de Revolução quando giramos esse gráfico em torno do eixo
.
Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas e integrais. Não se preocupa, vou explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o comprimento de arco do gráfico da função. A fórmula para o comprimento de arco de uma função
entre
e
é:
Então, precisamos encontrar a derivada de
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
para
. Usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Simplificando a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Vamos integrar
:
Então, o comprimento de arco entre
e
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução ao girar o gráfico de
g(x) em torno do eixo
x . A fórmula para essa área é:
Já sabemos que
raiz1 + (dgdx)^2 = x^-1/3 e
g(x) = (1 - x^2/3)^3/2 . Então:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
u = 1 - x^2/3 , então:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
x :
Avaliado entre
a e
b :
Resposta
O comprimento de arco do gráfico de
g(x) entre
a e
b é:
E a área da superfície de revolução ao girar o gráfico em torno do eixo
x é: