Calcule o comprimento de arco do gráfico da função f e a área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico em torno do eixo x.
* g(x)=(1-x^2 / 3)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas coisas para a função g(x) = (1 - x^2/3)^3/2 :
  1. Comprimento de Arco do gráfico dessa função.
  2. Área da Superfície de Revolução quando giramos esse gráfico em torno do eixo x .
Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas e integrais. Não se preocupa, vou explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento de arco do gráfico da função. A fórmula para o comprimento de arco de uma função y = f(x) entre x = a e x = b é:
L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx
Então, precisamos encontrar a derivada de g(x) , ou seja, dgdx .

Passo 3

Vamos calcular dgdx para g(x) = (1 - x^2/3)^3/2 . Usamos a regra da cadeia:
dgdx = 32 (1 - x^2/3)^1/2 cdot (-23x^-1/3)
Simplificando:
dgdx = - (1 - x^2/3)^1/2 cdot x^-1/3

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
(dgdx)^2 = (1 - x^2/3) cdot x^-2/3
Simplificando a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco:
1 + (dgdx)^2 = 1 + (1 - x^2/3) cdot x^-2/3 = 1 + x^-2/3 - 1 = x^-2/3

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
L = integrala^b raizx^-2/3 , dx = integrala^b x^-1/3 , dx
Vamos integrar x^-1/3 :
integral x^-1/3 , dx = 32 x^2/3 + C
Então, o comprimento de arco entre a e b é:
L = 32 x^2/3 |a^b = 32 ( b^2/3 - a^2/3 )

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução ao girar o gráfico de g(x) em torno do eixo x . A fórmula para essa área é:
A = 2pi integrala^b g(x) raiz1 + (dgdx)^2 , dx
Já sabemos que raiz1 + (dgdx)^2 = x^-1/3 e g(x) = (1 - x^2/3)^3/2 . Então:
A = 2pi integrala^b (1 - x^2/3)^3/2 cdot x^-1/3 , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja u = 1 - x^2/3 , então:
du = -23 x^-1/3 , dx Rightarrow dx = -32 x^1/3 , du
Substituindo na integral:
A = 2pi integral u^3/2 cdot x^-1/3 cdot (-32 x^1/3) , du = -3pi integral u^3/2 , du
Integrando:
-3pi cdot 25 u^5/2 + C = -6pi5 u^5/2 + C
Voltando para x :
A = -6pi5 (1 - x^2/3)^5/2
Avaliado entre a e b :
A = 6pi5 [ (1 - a^2/3)^5/2 - (1 - b^2/3)^5/2 ]

Resposta

O comprimento de arco do gráfico de g(x) entre a e b é:
L = 32 ( b^2/3 - a^2/3 )
E a área da superfície de revolução ao girar o gráfico em torno do eixo x é:
A = 6pi5 [ (1 - a^2/3)^5/2 - (1 - b^2/3)^5/2 ]

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