Calcule o comprimento da curva dada.
gamma(t)=(-1,-t^2, t^3, 2), t in[0,1];

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em R^4
gamma(t) = l(-1,,-t^2,,t^3,,2r), tin[0,1]
e pede o comprimento de arco. O conteúdo é comprimento de curva parametrizada, cuja fórmula é
L = integrala^b l|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Calcular a derivada componente a componente:
gamma'(t) = l(0,,-2t,,3t^2,,0r)

Passo 3

Encontrar a norma de gamma'(t):
l|gamma'(t)r| = raiz0^2 + (-2t)^2 + (3t^2)^2 + 0^2 = raiz4t^2 + 9t^4 = t,raiz4 + 9t^2

Passo 4

Montar o integral do comprimento:
L = integral0^1 t,raiz4 + 9t^2,dt

Passo 5

Fazer a substituição u = 4 + 9t^2, de modo que du = 18t,dt e t,dt = tfrac118,du. Quando t=0, u=4; quando t=1, u=13. Assim
L = integralu=4^13 raizu,du18 = 118integral4^13 u^1/2,du = 118cdot23l[u^3/2r]4^13 = 127l(13^3/2 - 4^3/2r)

Passo 6

Reconhecer que 13^3/2 = 13raiz13 e 4^3/2=8. Portanto
L = 127l(13raiz13 - 8r)

Resposta

L = 13raiz13 - 827

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