Calcule o comprimento de arco da hélice circular descrita por f(t)=(5 \cos (t), 5 \sin (t), 2 t) no intervalo 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
f(t) = (5\cos(t),\,5\sin(t),\,2t)
no intervalo 0 \le t \le 2\pi.
O conteúdo é comprimento de arco de curva no espaço, para o qual usamos a fórmula
L = \int_{a}^{b} \big\lVert f'(t)\big\rVert \,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
f'(t) = \bigl(-5\sin(t),\,5\cos(t),\,2\bigr).

Passo 3

Agora achamos a norma de f'(t):
\big\lVert f'(t)\big\rVert = \sqrt{(-5\sin t)^{2} + (5\cos t)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{25\sin^{2}t + 25\cos^{2}t + 4} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}.
Repare que é constante em t.

Passo 4

Como \lVert f'(t)\rVert = \sqrt{29} é constante, o comprimento de arco é
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{29}\,dt = \sqrt{29}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi\,\sqrt{29}.

Resposta

2\pi\sqrt{29}

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