Calcule a integral definida da seguinte função vetorial no intervalo [0,1] :
\int_{0}^{1}\left(6 t^{2}, 4 e^{2 t}, 8 t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida no intervalo [0,1] de uma função vetorial
f(t) = \bigl(6t^{2},\,4e^{2t},\,8t\bigr).
O método consiste em usar a propriedade de integração componente a componente, ou seja,
\int_{0}^{1}f(t)\,dt \;=\;\Bigl(\,\int_{0}^{1}6t^{2}dt,\;\int_{0}^{1}4e^{2t}dt,\;\int_{0}^{1}8t\,dt\Bigr).

Passo 2

Calcular a primeira componente:
\int_{0}^{1}6t^{2}dt = 6\int_{0}^{1}t^{2}dt = 6\biggl[\frac{t^{3}}{3}\biggr]_{0}^{1} = 6\cdot\frac{1}{3} = 2.

Passo 3

Calcular a segunda componente:
\int_{0}^{1}4e^{2t}dt = 4\int_{0}^{1}e^{2t}dt =4\biggl[\frac{e^{2t}}{2}\biggr]_{0}^{1} =2\bigl(e^{2}-1\bigr).

Passo 4

Calcular a terceira componente:
\int_{0}^{1}8t\,dt = 8\int_{0}^{1}t\,dt =8\biggl[\frac{t^{2}}{2}\biggr]_{0}^{1} =4.

Passo 5

Reunindo as três componentes, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(6t^{2},4e^{2t},8t\bigr)\,dt = \bigl(2,\;2(e^{2}-1),\;4\bigr).

Resposta

\bigl(2,\;2(e^{2}-1),\;4\bigr)

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