Mostre que x^{5}-x^{3}+1 possui pelo menos uma raiz real negativa.

Passo 1

Definimos a função f(x)=x^{5}-x^{3}+1.
Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}.
Para mostrar que existe pelo menos uma raiz real negativa, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário: se em dois pontos a<b tivermos f(a) e f(b) com sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 2

Calculamos f(-1)=(-1)^{5}-(-1)^{3}+1=-1+1+1=1\,.

Passo 3

Calculamos f(-2)=(-2)^{5}-(-2)^{3}+1=-32+8+1=-23\,.

Passo 4

Observamos que f(-2)=-23<0 e f(-1)=1>0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in(-2,-1) tal que f\text{(c)}=0. Esse c é uma raiz real negativa.

Resposta

A função x^{5}-x^{3}+1 possui pelo menos uma raiz real negativa, localizada em (-2,-1).

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