Encontre o versor tangente (vetor tangente unitário) T(t) para a curva f(t)=\left(t, 2 t^{2}, 0\right).

Passo 1

O enunciado pede o versor tangente (vetor tangente unitário) de uma curva em \mathbb{R}^3. A curva é dada por
f(t)=\bigl(t,\;2t^{2},\;0\bigr).
O conteúdo principal aqui é derivar a curva componente a componente para obter o vetor tangente e depois normalizá-lo usando
T(t)=\frac{f'(t)}{\lVert f'(t)\rVert}.

Passo 2

Derivando f(t) componente a componente, obtemos o vetor tangente não normalizado:
f'(t)=\bigl(1,\;4t,\;0\bigr).

Passo 3

Calculamos a norma de f'(t) para poder normalizar:
\lVert f'(t)\rVert =\sqrt{1^{2} + (4t)^{2} + 0^{2}} =\sqrt{1 + 16t^{2}}.

Passo 4

Dividimos cada componente de f'(t) por \lVert f'(t)\rVert para obter o versor tangente:
T(t) =\frac{1}{\sqrt{1+16t^{2}}}\,\bigl(1,\;4t,\;0\bigr) =\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+16t^{2}}},\;\frac{4t}{\sqrt{1+16t^{2}}},\;0\Bigr).

Resposta

T(t)=\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+16t^{2}}},\;\frac{4t}{\sqrt{1+16t^{2}}},\;0\Bigr).

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