A derivada de uma função vetorial é dada por f^{\prime}(t)=\left(3,2 t, 3 t^{2}\right). Sabendo que f(0)= (1,-2,1), encontre f(t).

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função vetorial
f'(t)=\bigl(3,\,2t,\,3t^2\bigr)
e a condição inicial
f(0)=\bigl(1,-2,1\bigr).
O conteúdo aqui é encontrar a antiderivada (integração) de cada componente para obter f(t).

Passo 2

Integramos componente a componente e introduzimos constantes de integração C_1,C_2,C_3:
f(t)=\int f'(t)\,\mathrm{d}t =\Bigl(\int 3\,\mathrm{d}t,\;\int 2t\,\mathrm{d}t,\;\int 3t^2\,\mathrm{d}t\Bigr) =\bigl(3t+C_1,\;t^2+C_2,\;t^3+C_3\bigr).

Passo 3

Usamos a condição inicial f(0)=\bigl(C_1,C_2,C_3\bigr)=\bigl(1,-2,1\bigr). Logo
C_1=1,\quad C_2=-2,\quad C_3=1.

Passo 4

Substituindo as constantes em f(t), obtemos
f(t)=\bigl(3t+1,\;t^2-2,\;t^3+1\bigr).

Resposta

f(t)=\bigl(3t+1,\;t^2-2,\;t^3+1\bigr).

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