Calcule o comprimento do arco indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento de um arco da curva definida por
, onde
varia de 1 a 8. Isso faz parte do tópico de Cálculo Diferencial, especificamente sobre comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e entender como derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
para expressar
em função de
. Isso facilita o uso da fórmula do comprimento de arco que trabalha com funções na forma
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados da equação por 27 para isolar
:
Agora, tiramos a raiz cúbica dos dois lados para encontrar
:
Passo 4
Com
expresso em função de
, precisamos calcular a derivada
. Isso nos ajudará a encontrar a inclinação da curva em cada ponto, essencial para o cálculo do comprimento do arco.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
Passo 6
Agora, elevamos a derivada ao quadrado:
Passo 7
A fórmula para o comprimento do arco
de
a
é:
Substituindo
,
e
, temos:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser avaliada numericamente usando métodos de integração ou ferramentas de cálculo.
Resposta
Após calcular a integral, o comprimento do arco indicado é aproximadamente 9 unidades.