Calcule o comprimento do arco indicado.
8 x^2 = 27 y^3, 1 <= x <= 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento de um arco da curva definida por , onde varia de 1 a 8. Isso faz parte do tópico de Cálculo Diferencial, especificamente sobre comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e entender como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para expressar em função de . Isso facilita o uso da fórmula do comprimento de arco que trabalha com funções na forma .

Passo 3

Dividindo ambos os lados da equação por 27 para isolar :
Agora, tiramos a raiz cúbica dos dois lados para encontrar :

Passo 4

Com expresso em função de , precisamos calcular a derivada . Isso nos ajudará a encontrar a inclinação da curva em cada ponto, essencial para o cálculo do comprimento do arco.

Passo 5

Calculando a derivada de :

Passo 6

Agora, elevamos a derivada ao quadrado:

Passo 7

A fórmula para o comprimento do arco de a é:
Substituindo , e , temos:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser avaliada numericamente usando métodos de integração ou ferramentas de cálculo.

Resposta

Após calcular a integral, o comprimento do arco indicado é aproximadamente 9 unidades.

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