Considere a função f: R -> R definida por f(x) = 0 se x <= 0, e f(x) = e^(-1 / x^2) se x > 0. Prove que f é infinitamente diferenciável em R, e que f^(n)(0) = 0 para todo n ≥ 1. Porém, mostre que f não tem uma expansão em série de potências para x perto da origem.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é provar que:
  1. Infinitas derivadas: A função é infinitamente diferenciável em .
  2. Derivadas em zero: Para todo , a derivada de ordem de em é zero, ou seja, .
  3. Série de potências: A função não possui uma expansão em série de potências em torno da origem.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivação de funções definidas por partes, comportamento das derivadas em pontos de transição, e condições para a existência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função em e . Para , é uma função bem comportada e suave, pois a exponencial é uma função infinitamente diferenciável. Para , , que também é uma função infinitamente diferenciável.
Nos pontos onde a função muda de fórmula, especialmente em , é importante verificar se as derivadas existem e são contínuas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de em . Para isso, usamos a definição de derivada:
Sabemos que para , todas as derivadas de são zero. Portanto, precisamos mostrar que as derivadas de à direita de zero também tendem a zero.

Passo 4

Observemos que para , . Vamos analisar o comportamento dessa função à medida que se aproxima de zero. Note que:
Além disso, todas as derivadas de para são múltiplos de multiplicados por polinômios de . Porém, devido à rápida decaída de , todas as derivadas também tendem a zero quando se aproxima de zero.

Passo 5

Como todas as derivadas de em são zero, temos que para todo . Além disso, como é suave em e , e todas as derivadas coincidem em , concluímos que é infinitamente diferenciável em .

Passo 6

Agora, vamos verificar se possui uma expansão em série de potências em torno de . A série de potências de seria:
Já que todas as derivadas em zero são zero. No entanto, isso implicaria que a série de potências é identicamente zero, o que não coincide com a função para . Portanto, a série de potências não representa perto da origem.

Resposta

A função é infinitamente diferenciável em , todas as suas derivadas em zero são zero, para todo , e ela não possui uma expansão em série de potências em torno da origem.

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