Considere a função 
  definida por 
  se 
 , e 
  se 
 . Prove que 
  é infinitamente diferenciável em 
 , e que 
  para todo 
 . Porém, mostre que 
  não tem uma expansão em série de potências para 
  perto da origem.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é provar que:
- Infinitas derivadas: A função 
é infinitamente diferenciável em .  - Derivadas em zero: Para todo 
, a derivada de ordem de em é zero, ou seja, .  - Série de potências: A função 
não possui uma expansão em série de potências em torno da origem.  
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivação de funções definidas por partes, comportamento das derivadas em pontos de transição, e condições para a existência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função 
  em 
  e 
 . Para 
 , 
  é uma função bem comportada e suave, pois a exponencial é uma função infinitamente diferenciável. Para 
 , 
 , que também é uma função infinitamente diferenciável.
Nos pontos onde a função muda de fórmula, especialmente em 
 , é importante verificar se as derivadas existem e são contínuas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de 
  em 
 . Para isso, usamos a definição de derivada:
Sabemos que para 
 , todas as derivadas de 
  são zero. Portanto, precisamos mostrar que as derivadas de 
  à direita de zero também tendem a zero.
Passo 4
Observemos que para 
 , 
 . Vamos analisar o comportamento dessa função à medida que 
  se aproxima de zero. Note que:
Além disso, todas as derivadas de 
  para 
  são múltiplos de 
  multiplicados por polinômios de 
 . Porém, devido à rápida decaída de 
 , todas as derivadas também tendem a zero quando 
  se aproxima de zero.
Passo 5
Como todas as derivadas de 
  em 
  são zero, temos que 
  para todo 
 . Além disso, como 
  é suave em 
  e 
 , e todas as derivadas coincidem em 
 , concluímos que 
  é infinitamente diferenciável em 
 .
Passo 6
Agora, vamos verificar se 
  possui uma expansão em série de potências em torno de 
 . A série de potências de 
  seria:
Já que todas as derivadas em zero são zero. No entanto, isso implicaria que a série de potências é identicamente zero, o que não coincide com a função 
  para 
 . Portanto, a série de potências não representa 
  perto da origem.
Resposta
A função 
  é infinitamente diferenciável em 
 , todas as suas derivadas em zero são zero, 
  para todo 
 , e ela não possui uma expansão em série de potências em torno da origem.