Calcule o comprimento do arco indicado.
y = raiz(x) * (1 - x / 3), 0 <= x <= 3

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da curva definida por no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar a distância ao longo de uma curva. Vamos precisar da fórmula do comprimento do arco e de derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do comprimento do arco para uma função entre e :
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada de em relação a , elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e, por fim, integrar tudo isso de até .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de em relação a . A função é:
Para derivar, vamos usar a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Simplificando a expressão da derivada:
Para facilitar, vamos colocar tudo em termos de denominador comum:

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular :
Então, a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento do arco fica:

Passo 6

Agora, a fórmula do comprimento do arco fica:
Podemos separar a fração:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 8

Calculando os valores:
Substituindo:

Resposta

O comprimento do arco indicado é unidades.

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