Calcule o comprimento do arco indicado.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar a distância ao longo de uma curva. Vamos precisar da fórmula do comprimento do arco e de derivadas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do comprimento do arco para uma função
entre
e
:
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e, por fim, integrar tudo isso de
até
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A função é:
Para derivar, vamos usar a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Simplificando a expressão da derivada:
Para facilitar, vamos colocar tudo em termos de denominador comum:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular
:
Então, a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento do arco fica:
Passo 6
Agora, a fórmula do comprimento do arco fica:
Podemos separar a fração:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 8
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
O comprimento do arco indicado é
unidades.