Determine o valor da constante c e k de forma que a função dada abaixo seja contínua em Re e faça um esboço da função resultante.
d) f(x)=cllx+2 c, & se x<-2 3 c x+k, & se & -2 <= x <= 1 3 x-2 k, & se & x>1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes e para que a função seja contínua em todos os números reais. A função está dividida em três partes, dependendo do valor de . Para garantir a continuidade, vamos fazer com que os limites das funções nas pontas se igualem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é em limx to -2^- (x + 2c) = limx to -2^+ (3c x + k) . A gente precisa que o limite da função quando -2 + 2c = 3c(-2) + k -2 + 2c = -6c + k se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de pela direita.
Para , a função é .
Para , a função é .
Vamos igualar os dois limites em :
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação para relacionar -2 + 2c + 6c = k -2 + 8c = k k = 8c - 2 e :

Passo 4

Agora, vamos olhar para o próximo ponto de mudança, que é em limx to 1^- (3c x + k) = limx to 1^+ (3x - 2k) . A gente precisa garantir que o limite quando 3c(1) + k = 3(1) - 2k 3c + k = 3 - 2k se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de pela direita.
Para , a função é .
Para , a função é .
Igualando os limites em :
Substituindo :

Passo 5

Agora, substituímos 3c + (8c - 2) = 3 - 2(8c - 2) 11c - 2 = 3 - 16c + 4 11c - 2 = 7 - 16c 11c + 16c = 7 + 2 27c = 9 c = 927 c = 13 da equação anterior ( ) nessa nova equação:

Passo 6

Agora que temos k = 8 ( 13 ) - 2 k = 83 - 2 k = 83 - 63 k = 23 , vamos encontrar usando a relação :

Resposta

Os valores das constantes são f(x) = x + 23, & se x < -2 x + 23, & -2 <= x <= 1 3x - 43, & x > 1 e . A função contínua fica assim:

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