Determine o valor da constante c e de forma que a função dada abaixo seja contínua em e faça um esboço da função resultante.
d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes e para que a função seja contínua em todos os números reais. A função está dividida em três partes, dependendo do valor de . Para garantir a continuidade, vamos fazer com que os limites das funções nas pontas se igualem.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é em limx to -2^- (x + 2c) = limx to -2^+ (3c x + k) . A gente precisa que o limite da função quando -2 + 2c = 3c(-2) + k -2 + 2c = -6c + k se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de pela direita.
Para , a função é .
Para , a função é .
Vamos igualar os dois limites em :
Substituindo :
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação para relacionar -2 + 2c + 6c = k -2 + 8c = k k = 8c - 2 e :
Passo 4
Agora, vamos olhar para o próximo ponto de mudança, que é em limx to 1^- (3c x + k) = limx to 1^+ (3x - 2k) . A gente precisa garantir que o limite quando 3c(1) + k = 3(1) - 2k 3c + k = 3 - 2k se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de pela direita.