Calcule o comprimento do arco indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de um arco da função
no intervalo de
de 0 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre
e
:
Essa fórmula nos diz que precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e integrar tudo isso de
a
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada
da função dada:
Usando a regra do poder e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Observamos que
. Então, a integral fica:
Como a expressão dentro da raiz é um quadrado perfeito e
é sempre positiva no intervalo considerado.
Passo 7
Agora, vamos integrar
de 0 a 3:
Resposta
O comprimento do arco indicado é 21 unidades.