Calcule o comprimento do arco indicado.
y = 2/3 * (1 + x^2)^(3/2), 0 <= x <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de um arco da função no intervalo de de 0 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre e :
Essa fórmula nos diz que precisamos encontrar a derivada da função em relação a , elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e integrar tudo isso de a .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função dada:
Usando a regra do poder e a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento do arco:

Passo 6

Observamos que . Então, a integral fica:
Como a expressão dentro da raiz é um quadrado perfeito e é sempre positiva no intervalo considerado.

Passo 7

Agora, vamos integrar de 0 a 3:

Resposta

O comprimento do arco indicado é 21 unidades.

Exercícios relacionados