O limite lim (x, y) (0,0) x^2-2 x yx^2-4 y^2 existe? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x^2-2 x yx^2-4 y^2. Esse tipo de problema está na matéria de Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver, vamos ver se o limite existe analisando diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar em (0,0). Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, então o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função:
x^2-2xcdot0x^2-4cdot0^2 = x^2x^2 = 1
Então, pelo caminho y = 0, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece ao nos aproximarmos de (0,0) ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo x = 0 na função:
0^2-2cdot0cdot y0^2-4 y^2 = 0-4 y^2 = 0
Então, pelo caminho x = 0, o limite é 0.

Passo 4

Observamos que ao seguir dois caminhos diferentes chegando a (0,0), obtemos limites diferentes: 1 pelo eixo x e 0 pelo eixo y. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para chegar em (0,0).

Passo 5

Quando o limite de uma função de duas variáveis dá resultados diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar do ponto, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^2-2 x yx^2-4 y^2 não existe, pois os resultados variam dependendo do caminho seguido para se aproximar de (0,0).

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