Calcule o comprimento do arco de parábola y=x^{2} da origem até o ponto (1 / 2,1 / 4).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da parábola y=x^2 de x=0 até x=\tfrac12. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para uma função y(x):
s = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y=x^2:
y'(x) = 2x.
Logo o comprimento de arco é
s = \int_{0}^{\tfrac12} \sqrt{1 + (2x)^2}\,dx = \int_{0}^{\tfrac12} \sqrt{1 + 4x^2}\,dx.

Passo 3

Para resolver \displaystyle \int_{0}^{\tfrac12}\sqrt{1 + 4x^2}\,dx, fazemos a mudança de variável
u = 2x,\quad du = 2\,dx,\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=0; quando x=\tfrac12, u=1. Assim
s = \int_{0}^{\tfrac12}\sqrt{1 + 4x^2}\,dx = \frac12 \int_{0}^{1} \sqrt{1 + u^2}\,du.

Passo 4

Usamos a primitiva conhecida
\int \sqrt{u^2 + 1}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2+1} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{u^2+1}\bigr) + C.
Portanto,
\int_{0}^{1}\sqrt{1 + u^2}\,du = \Bigl[\tfrac{u}{2}\sqrt{u^2+1} + \tfrac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+1}\bigr)\Bigr]_0^1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Multiplicando por \tfrac12 obtemos
s = \frac12\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})\Bigr) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Resposta

s = \frac{\sqrt{2}}{4} \;+\; \frac{1}{4}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

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