4 a Questão (30 pontos) Faça o que se pede:
a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=e^{x} e o seu raio de convergência. Justifique sua resposta!
b) Calcule o valor da soma
3+\frac{9}{2}+\frac{27}{3!}+\frac{81}{4!}+\cdots
c) A função cosseno hiperbólico é definida por \operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}. Encontre a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{cosh} x e o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
– (a) achar a série de Maclaurin de f(x)=e^x e seu raio de convergência;
– (b) calcular a soma da série
3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{3!} + \frac{81}{4!} + \cdots
– (c) achar a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{cosh} x (definida por \operatorname{cosh} x=(e^x+e^{-x})/2) e seu raio de convergência.
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin e teste da razão para convergência.

Passo 2

Para f(x)=e^x usamos a definição de série de Maclaurin:
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n
como todas as derivadas de e^x em 0 valem 1, temos
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\,.
Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1} = 0 < 1
Logo a série converge para todo x, ou seja, o raio de convergência é R=\infty.

Passo 3

Observe que
3 = \frac{3^1}{1!},\quad \frac{9}{2}=\frac{3^2}{2!},\quad \frac{27}{3!}=\frac{3^3}{3!},\;\dots
então a soma é
\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} = \Bigl(\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}\Bigr) - 1 = e^3 - 1.

Passo 4

Para \operatorname{cosh} x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} usamos as séries:
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \quad e^{-x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\,x^n}{n!}.
Somando e dividindo por 2, cancelam-se todos os termos de ordem ímpar, sobrando
\operatorname{cosh} x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}.
O teste da razão é análogo ao caso de e^x e dá
\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2(k+1)}/(2(k+1))!}{|x|^{2k}/(2k)!} = \lim_{k\to\infty}\frac{x^2}{(2k+1)(2k+2)} = 0,
logo o raio de convergência também é R=\infty.

Resposta

(a) e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},\quad R=\infty.
(b) \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} = e^3 - 1.
(c) \operatorname{cosh} x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!},\quad R=\infty.

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