4 a Questão (30 pontos) Faça o que se pede:
a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=e^{x} e o seu raio de convergência. Justifique sua resposta!
b) Calcule o valor da soma
3+\frac{9}{2}+\frac{27}{3!}+\frac{81}{4!}+\cdots
c) A função cosseno hiperbólico é definida por \operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}. Encontre a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{cosh} x e o seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
– (a) achar a série de Maclaurin de f(x)=e^x e seu raio de convergência;
– (b) calcular a soma da série
– (c) achar a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{cosh} x (definida por \operatorname{cosh} x=(e^x+e^{-x})/2) e seu raio de convergência.
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin e teste da razão para convergência.
Passo 2
Para f(x)=e^x usamos a definição de série de Maclaurin: