P3. 1 (20 pontos)
Expresse o número 3,41 \overline{19}=3,4119191919 \cdots como uma razão de inteiros.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número 3,41\overline{19}=3,41191919\cdots como uma razão de inteiros. Este é um caso clássico de conversão de decimal periódico em fração, e vamos usar o truque de definir uma variável para o número e eliminar a parte periódica por multiplicações e subtrações.
Passo 2
Seja
x = 3,41191919\cdots
Aqui a parte não periódica tem k=2 dígitos (“41”) e a parte periódica tem r=2 dígitos (“19”).
Passo 3
Multiplicamos por 10^k=10^2=100 para deslocar a vírgula logo após a parte não periódica:
100x = 341,191919\cdots
Passo 4
Multiplicamos por 10^{k+r}=10^4=10000 para deslocar a vírgula após um ciclo completo do período:
10000x = 34119,191919\cdots
Passo 5
Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar a parte periódica: