P3. 1 (20 pontos)
Expresse o número 3,41 \overline{19}=3,4119191919 \cdots como uma razão de inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número 3,41\overline{19}=3,41191919\cdots como uma razão de inteiros. Este é um caso clássico de conversão de decimal periódico em fração, e vamos usar o truque de definir uma variável para o número e eliminar a parte periódica por multiplicações e subtrações.

Passo 2

Seja
x = 3,41191919\cdots
Aqui a parte não periódica tem k=2 dígitos (“41”) e a parte periódica tem r=2 dígitos (“19”).

Passo 3

Multiplicamos por 10^k=10^2=100 para deslocar a vírgula logo após a parte não periódica:
100x = 341,191919\cdots

Passo 4

Multiplicamos por 10^{k+r}=10^4=10000 para deslocar a vírgula após um ciclo completo do período:
10000x = 34119,191919\cdots

Passo 5

Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar a parte periódica:
10000x - 100x = 34119,191919\cdots - 341,191919\cdots
ou seja
9900x = 34119 - 341 = 33778.

Passo 6

Isolando x e simplificando a fração, temos
x = \frac{33778}{9900} = \frac{16889}{4950},
pois dividimos numerador e denominador por 2 e não há mais divisores comuns.

Resposta

\displaystyle \frac{16889}{4950}

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