Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n^{2}}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, o critério de convergência absoluta e o teste de comparação.

Passo 2

Para usar o teste de comparação, observamos que, para todo n,
|\cos n|\le 1.
Logo, o valor absoluto do termo geral satisfaz
\left|\frac{\cos n}{n^{2}}\right|\le \frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a série p
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge, pois 2>1. Pelo critério de comparação direta, como \bigl|\cos n/n^{2}\bigr|\le 1/n^{2}
e \sum 1/n^{2} converge, segue que \sum|\cos n/n^{2}| também converge. Portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n^{2}} converge absolutamente e, portanto, converge.

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