Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta! \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n^{2}}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, o critério de convergência absoluta e o teste de comparação.
Passo 2
Para usar o teste de comparação, observamos que, para todo n,
converge, pois 2>1. Pelo critério de comparação direta, como \bigl|\cos n/n^{2}\bigr|\le 1/n^{2}
e \sum 1/n^{2} converge, segue que \sum|\cos n/n^{2}| também converge. Portanto, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n^{2}} converge absolutamente e, portanto, converge.