Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
gamma(t)=(13 t^3-t, t^2), 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
gamma(t)=l(x(t),y(t)r)=l(tfrac13t^3 - t,;t^2r), 0<= t<=2
Este é um problema de comprimento de curva em coordenadas paramétricas, onde usamos a fórmula
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x(t)=tfrac13t^3 - t Longrightarrow x'(t)=t^2-1,
y(t)=t^2 Longrightarrow y'(t)=2t

Passo 3

Substituímos embaixo da raiz:
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =(t^2-1)^2+(2t)^2 =t^4-2t^2+1+4t^2 =t^4+2t^2+1 =(t^2+1)^2
Como t^2+1>0 em [0,2], a raiz vira simplesmente
raiz(t^2+1)^2=t^2+1

Passo 4

O comprimento é então
L=integral0^2(t^2+1),dt =[t^33+t]0^2 =83+2 =143

Resposta

143

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