Derivadas parciais de uma função composta:
Seja f uma função diferenciável de ( u, v ), e seja g uma função de ( x, y ) definida por g(x, y)=f(x^3 y+y^2, y^3 x). Calcule gx e gy em termos de fu ef fv.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função composta
g(x,y)=fl(u(x,y),,v(x,y)r)
onde definimos
u(x,y)=x^3y+y^2, v(x,y)=y^3x
O objetivo é calcular gx e gy usando a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de u e v:
partial upartial x =partialpartial xl(x^3y+y^2r) =3x^2y, partial upartial y =partialpartial yl(x^3y+y^2r) =x^3+2y
partial vpartial x =partialpartial xl(y^3xr) =y^3, partial vpartial y =partialpartial yl(y^3xr) =3y^2x

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para gx:
gx =partial fpartial ul(u,vr),partial upartial x +partial fpartial vl(u,vr),partial vpartial x
Substituindo partial u/partial x=3x^2y e partial v/partial x=y^3, obtemos
gx =ful(u,vr),3x^2y +fvl(u,vr),y^3

Passo 4

Agora a regra da cadeia para gy:
gy =partial fpartial ul(u,vr),partial upartial y +partial fpartial vl(u,vr),partial vpartial y
Substituindo partial u/partial y=x^3+2y e partial v/partial y=3y^2x, temos
gy =ful(u,vr),(x^3+2y) +fvl(u,vr),3y^2x

Resposta

gx(x,y) =ful(x^3y+y^2,;y^3xr),3x^2y +fvl(x^3y+y^2,;y^3xr),y^3,
gy(x,y) =ful(x^3y+y^2,;y^3xr),(x^3+2y) +fvl(x^3y+y^2,;y^3xr),3y^2x

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